Дев’яносто шість на рамці, поділити на три. Рухати тут нічого не важко. Бракує місця, куди покласти відповідь. На папері частку пишуть над діленим, а в соробана немає «зверху» — у нього є «ліворуч». Тож іще до будь-якої арифметики діленню потрібне правило, який саме стрижень, і ця сторінка є цим правилом. 96 ÷ 3 = ?
Інтерактивний покроковий урок · від Вищого Б до Майстерського рівня
Ділення на абакусі: на який стрижень іде відповідь
Виставте ділене праворуч на рамці так, щоб його цифра одиниць стояла на найправішому стрижні, а дільник поставте далеко ліворуч. Поділіть цифру, з якою працюєте, запишіть результат на два стрижні лівіше, потім відніміть те, чого ця цифра коштувала, з діленого і зсуньтеся на один стрижень праворуч. Цифра одиниць відповіді завжди лягає на два стрижні лівіше за цифру одиниць діленого — цей зсув і є технікою. Дев’ять розділів, двадцять шість кроків, а остання третина віддає вам намистини.
Чого ця сторінка від вас хоче
Це не аркуш із прикладами і не стаття. Кожен розділ — рамка справжнього абакуса з поясненням поруч, а остання третина віддає намистини вам. Одне попередження про підпис під рамкою: він оголошує весь ряд намистин як одне число, тож підготовлена рамка читається як 300096, без жодних розділювачів. Це число правдиве щодо намистин і безглузде як арифметика — рамка є трьома ділянками, що ділять один ряд, і текст біля кожного кроку постійно називає, де яка.
Ділення — остання техніка на драбині. Учень зустрічає його наприкінці Вищого Б, коли множення багатозначних чисел уже стабільне, і опрацьовує через Майстерський рівень, дев’яту сходинку. Множення є буквальною передумовою: кожен крок цього методу віднімає добуток, тож учневі, який їх ще вираховує, спершу треба до того уроку.
Як ділять на соробані?
Виставте ділене праворуч так, щоб його цифра одиниць стояла на найправішому стрижні, а дільник — далеко ліворуч, лишивши між ними порожні стрижні. Погляньте на початкову частину діленого, з’ясуйте, скільки разів у ній міститься дільник, і запишіть цю цифру на два стрижні лівіше за цифру, яку ділили. Помножте її назад на дільник і відніміть результат із діленого, цифра за цифрою. Потім зсуньтеся на один стрижень праворуч і зробіть те саме ще раз. Коли ділянка діленого порожня, середина рамки і є відповіддю.
Два стрижні, а не один — саме це варто запам’ятати. Однозначний дільник може дати відповідь із такою самою кількістю цифр, як у діленого, тож із проміжком в один стрижень відповіді знадобився б стрижень, на якому ще стоїть ділене. Два — найменший зсув, який ніколи не стикається. Відмірюйте його від цифри, яку ділите, а не від краю числа, — і він працюватиме і для тризначних діленців, і для довших.
Рухайте намистини самі
Рамка показує 96.
Увесь урок, розписаний словами
Дія I — у соробана немає «зверху»
Ділене сидить праворуч. Виставте 96 так, щоб його цифра одиниць була на найправішому стрижні: 9 на стрижні десятків, 6 на стрижні одиниць. Ця ділянка — та частина прикладу, яку з’їдають. Наприкінці методу вона показує нуль або тримає остачу. 96 ÷ 3
Дільник сидить далеко ліворуч. Поставте 3 на найлівіший стрижень, лишивши між ним і діленим кілька вільних стрижнів. Рамка тепер читається як 300096, і це число нічого не означає як арифметика — це три окремі речі, що ділять один ряд намистин. Читайте ділянки, а не суму. 96 ÷ 3
Стрижні між ними — це відповідь, яка чекає. Порожні стрижні між дільником і діленим — не запас. Саме там записують відповідь, по одній цифрі за раз. Стрижень, що світиться, — місце, куди ляже її цифра одиниць: на два стрижні лівіше за стрижень одиниць діленого, і завжди саме на два. 96 ÷ 3
Готова рамка, показана раніше, ніж її здобуто. Це 96 ÷ 3 із завершеним методом: дільник 3 досі ліворуч, ділянка діленого спорожніла до 00, а посередині стоїть 32. Двійка — цифра одиниць відповіді — на стрижні, що світиться, рівно на два стрижні лівіше за той, де сиділа 6. 96 ÷ 3 = 32
Чому два стрижні, а не один. Стрижень, що світиться тепер, — стрижень десятків діленого, і він був задіяний більшу частину методу. Ділення на одну цифру може дати відповідь із такою самою кількістю цифр, як у діленого, тож із проміжком в один стрижень відповіді знадобився б цей стрижень, поки на ньому ще стояло ділене. Два — найменший проміжок, який ніколи не стикається. Між цією рамкою і попередньою жодна намистина не рухалася — змінився лише стрижень, на який показують. 96 ÷ 3 = 32
Дія II — розібрано двічі: без остачі, потім із виправленням
Виставте приклад. Дільник 3 далеко ліворуч, ділене 96 праворуч із цифрою одиниць на одиничному стрижні, і порожні стрижні між ними. Рядок під рамкою назве це 300096, одним нерозділеним рядом; це чесна сума намистин і водночас число, яким цей метод ніколи не користується. 96 ÷ 3 = 32
Поділіть першу цифру, запишіть результат на два стрижні лівіше. Дев’ятка стоїть на стрижні десятків діленого. Три вміщується в дев’ять тричі, тож цифра — 3, і вона йде на два стрижні лівіше за цю дев’ятку. Там підіймаються три земні намистини. У діленому поки що нічого не змінилося — цифру заявлено, але не сплачено. 9 ÷ 3 = 3
Тепер сплатіть за неї. Цифра, яку ви щойно записали, коштує 3 × 3 = 9, і це знімається зі стрижня, який ви ділили. Небесна намистина вгору і чотири земні вниз — і стрижень десятків діленого показує 0. Кожна намистина, потрібна для цього руху, вже з правильного боку, тож доповнення не задіяне. Саме цей крок робить наступний законним. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
Зсуньтеся на один стрижень праворуч і зробіть це знову. Від діленого лишилося 6 на одиничному стрижні. Три вміщується в шість двічі, тож 2 записують на два стрижні лівіше за цю шістку — одразу праворуч від трійки, записаної раніше. Відповідь будується зліва направо, по одному стрижню, у тому порядку, у якому її читають. 6 ÷ 3 = 2
Сплатіть і за цю. 2 × 3 = 6 знімається з одиничного стрижня: небесна намистина вгору, одна земна вниз — і стрижень показує 0. Ділянка діленого порожня, і саме так «ділиться без остачі» виглядає на соробані. 2 × 3 = 6, 6 − 6 = 0
Прочитайте середину. Ділянка діленого показує 00, тож нічого не винні. Ділянка частки показує 3, потім 2, тож відповідь — 32, і 32 × 3 = 96. Її цифра одиниць стоїть на стрижні, що на два лівіше за той, де була цифра одиниць діленого, — точно як обіцяла Дія I. 96 ÷ 3 = 32
Те саме розташування, складніше питання. Дільник 6 далеко ліворуч, ділене 42 праворуч. Арифметика проста — більшість скаже 42 ÷ 6 = 7 і без рамки. Уся складність у тому, на який стрижень іде ця сімка, тож це єдиний розділ сторінки, де спокусливий рух показано як помилковий. 42 ÷ 6 = ?
Ця рамка — помилка, навмисно. Ось сімка, покладена на перший стрижень частки — так, як починався попередній приклад. Але цей стрижень є стрижнем десятків відповіді, тож рамка тепер стверджує 70 — а 70 × 6 = 420, а не 42. Кожен стрижень на цій картинці є законною цифрою соробана, арифметика за ним була правильною, а відповідь помилилася в десять разів. Це єдина справжня небезпека цього методу. 70 × 6 = 420, not 42
Заберіть її і поставте питання як слід. Перш ніж щось записувати, погляньте на цифру, яку ділите. Шість не вміщується в чотири, тож у цієї відповіді немає цифри десятків узагалі, і той стрижень лишається порожнім. Зніміть сімку — і рамка стане такою, як була. 6 > 4
Частина, яку ділять, — це 42, і її молодша цифра на одиничному стрижні. Оскільки 6 не вмістилося в 4, ділять усе число 42, чия молодша цифра стоїть на одиничному стрижні. Два стрижні лівіше від нього — місце сімки: небесна намистина вниз, дві земні вгору. Правило не змінилося — змінилася цифра, до якої його застосували. 42 ÷ 6 = 7
Сплатіть за неї, спершу десятки. 7 × 6 = 42, і ці 42 знімаються з діленого цифра за цифрою. Чотири земні намистини опускаються на стрижні десятків діленого, і він показує 0. 7 × 6 = 42, 4 − 4 = 0
Потім одиниці. Дві земні намистини опускаються на одиничному стрижні, і він теж показує 0. Ділянка діленого чиста, тож і цей приклад вийшов без остачі. 7 × 6 = 42, 2 − 2 = 0
Знову прочитайте середину. Ділянка частки показує 0, потім 7, тож відповідь — 7, і вона стоїть на тому самому стрижні, куди в попередньому розділі лягла двійка з 32. Однозначна і двозначна відповіді ставлять свою цифру одиниць на рівно той самий стрижень, бо цей стрижень визначає ділене, а не те, наскільки великою вийшла відповідь. 42 ÷ 6 = 7
Дія III — ваша черга
Запишіть першу цифру відповіді. Рамку виставлено — 3 ліворуч, 96 праворуч — і намистини живі. Дев’ять поділити на три — це три; поставте цю трійку на два стрижні лівіше за дев’ятку. Крок оцінюють за всією рамкою, тож та сама цифра на один стрижень убік — це вже інше число, і воно не зарахується. Тут перевіряють стрижень, а не арифметику. 9 ÷ 3 = 3, two rods left of the 9
Тепер зніміть те, чого вона коштувала. Рамка показує 303096. Зніміть 3 × 3 = 9 зі стрижня десятків діленого так, щоб рамка показувала 303006 — небесна намистина вгору, чотири земні вниз. Якщо дорогою вона опиниться на несподіваному числі, лишіть і йдіть далі; оцінюють лише те, де намистини зупинилися. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
Один стрижень праворуч — і записуйте знову. Від діленого лишається 6 на одиничному стрижні. Шість поділити на три — це два: запишіть це на два стрижні лівіше за ту шістку, тобто одразу праворуч від трійки, яку ви записали щойно. Відповідь будується зліва направо, по одному стрижню за раз. 6 ÷ 3 = 2, two rods left of the 6
Приберіть останнє з діленого. Зніміть 2 × 3 = 6 з одиничного стрижня так, щоб рамка показувала 303200. Ділянка діленого порожня, середина рамки читається як 32, і ділення завершено. 2 × 3 = 6, 96 ÷ 3 = 32
Цифра проста. Перевіряють стрижень. Дільник 6, ділене 42, і ви вже знаєте, що відповідь — 7. Шість не вміщується в 4, тож цифри десятків немає: сімка належить на два стрижні лівіше за одиничний стрижень діленого. Поставте її ще на один стрижень лівіше — і рамка стверджуватиме сімдесят: крок цього не прийме, і в цьому весь урок сторінки. 42 ÷ 6 = 7, two rods left of the units rod
Відніміть добуток і прочитайте відповідь. 7 × 6 = 42. Зніміть чотири зі стрижня десятків діленого і два з одиничного стрижня так, щоб рамка показувала 600700. Ділянка діленого порожня, середина читається як 7, і 7 × 6 = 42. 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7
Сім стрижнів, без цілі. На один стрижень ширше за кожну навчальну рамку, щоб уміщалося тризначне ділене. Виставте таке — наприклад, 837 із трійкою далеко ліворуч — і пройдіть його: відповідь марширує праворуч у стрижні, які ділене вже звільнило, а зсув на два стрижні й далі тримається, бо його відмірюють від цифри, яку ділять, а не від проміжку. Тут нічого не оцінюється.
Куди йти далі
Та сама техніка, чотири різні ролі. Ця сторінка була покроковим уроком; ось інші, і жодна з них його не замінює.
Інші покрокові уроки
П’ять технік, одна драбина. Кожна має власний покроковий урок із власними намистинами, і перелічені вони тут у тому порядку, у якому їх зустрічає учень.