فریم پر چھیانوے، تقسیم تین سے۔ یہاں کچھ بھی ہلانا مشکل نہیں۔ کمی صرف یہ ہے کہ جواب رکھیں کہاں۔ کاغذ پر خارج قسمت مقسوم کے اوپر لکھا جاتا ہے، اور soroban پر اوپر کچھ ہوتا ہی نہیں — اس کے پاس بایاں ہے۔ اس لیے کوئی حساب شروع ہونے سے پہلے تقسیم کو یہ اصول چاہیے کہ کون سی سلاخ، اور یہ صفحہ وہی اصول ہے۔ 96 ÷ 3 = ?
انٹرایکٹو رہنمائی · Higher B سے Grand Level تک
اباکس پر تقسیم: جواب کس سلاخ پر جاتا ہے
مقسوم کو فریم کے دائیں حصے میں رکھیں، اس کا اکائی والا ہندسہ سب سے دائیں سلاخ پر، اور مقسوم علیہ کو بہت بائیں طرف کھڑا کر دیں۔ جس ہندسے پر کام کر رہے ہیں اسے تقسیم کریں، نتیجہ اس سے دو سلاخیں بائیں لکھیں، پھر اُس ہندسے کی قیمت مقسوم میں سے نکال دیں اور ایک سلاخ دائیں سرک جائیں۔ جواب کا اکائی والا ہندسہ ہمیشہ مقسوم کے اکائی والے ہندسے سے دو سلاخیں بائیں اترتا ہے — یہی فاصلہ اصل تکنیک ہے۔ نو باب، چھبیس قدم، اور آخری تہائی میں منکے آپ کے حوالے۔
یہ صفحہ آپ سے کیا مانگتا ہے
یہ نہ مشق کی شیٹ ہے، نہ مضمون۔ ہر باب ایک اصلی اباکس کا فریم ہے جس کے ساتھ وضاحت لکھی ہے، اور آخری تہائی میں منکے آپ کے حوالے کر دیے جاتے ہیں۔ فریم کے نیچے کی پڑھت کے بارے میں ایک تنبیہ: وہ منکوں کی پوری قطار کو ایک ہی عدد کے طور پر بولتی ہے، اس لیے سیٹ کیا ہوا فریم 300096 پڑھتا ہے، بغیر کسی وقفے کے۔ وہ عدد منکوں کے بارے میں سچ ہے اور حساب کے طور پر بے معنی — فریم ایک ہی قطار میں بیٹھے تین علاقے ہیں، اور ہر قدم کے ساتھ لکھی عبارت بتاتی رہتی ہے کہ کون سا کون سا ہے۔
تقسیم سیڑھی کی آخری تکنیک ہے۔ سیکھنے والا اس سے Higher B کے آخر میں ملتا ہے، جب کئی ہندسوں کی ضرب جم چکی ہو، اور اسے Grand Level یعنی نویں زینے تک چلاتا ہے۔ ضرب لفظی معنوں میں شرط ہے: اس طریقے کا ہر قدم ایک حاصلِ ضرب نکالتا ہے، اس لیے جو سیکھنے والا ابھی وہ حاصلِ ضرب نکال رہا ہو، اسے پہلے اُس رہنمائی پر ہونا چاہیے۔
soroban پر تقسیم کیسے کرتے ہیں؟
مقسوم کو دائیں حصے میں رکھیں، اس کا اکائی والا ہندسہ سب سے دائیں سلاخ پر، اور مقسوم علیہ کو بہت بائیں طرف، دونوں کے بیچ کچھ خالی سلاخیں چھوڑ کر۔ مقسوم کے شروع والے حصے کو دیکھیں، حساب لگائیں کہ مقسوم علیہ اس میں کتنی بار جاتا ہے، اور وہ ہندسہ اُس ہندسے سے دو سلاخیں بائیں لکھ دیں جسے آپ نے تقسیم کیا۔ اسے مقسوم علیہ سے ضرب دے کر واپس لیں اور نتیجہ مقسوم میں سے ہندسہ بہ ہندسہ نکال دیں۔ پھر ایک سلاخ دائیں سرکیں اور یہی سب دوبارہ کریں۔ جب مقسوم والا علاقہ خالی ہو جائے تو فریم کا درمیانی حصہ ہی جواب ہے۔
یاد رکھنے کی اصل بات یہ ہے کہ دو سلاخیں، ایک نہیں۔ ایک ہندسے کا مقسوم علیہ ایسا جواب دے سکتا ہے جس میں مقسوم جتنے ہی ہندسے ہوں، اس لیے صرف ایک سلاخ کے فاصلے پر جواب کو ایسی سلاخ چاہیے ہوتی جس پر مقسوم ابھی بیٹھا ہوتا۔ دو سب سے چھوٹا فاصلہ ہے جس پر کبھی ٹکراؤ نہیں ہوتا۔ اسے عدد کے کنارے سے نہیں، اُس ہندسے سے ناپیں جسے آپ تقسیم کر رہے ہیں، اور یہ تین ہندسوں کے مقسوم اور اس سے لمبے عدد پر بھی چلتا رہے گا۔
منکے خود ہلائیں
فریم اس وقت 96 دکھا رہا ہے۔
پورا سبق، لکھا ہوا
پہلا حصہ — soroban پر "اوپر" کہیں نہیں ہوتا
مقسوم دائیں طرف بیٹھتا ہے۔ 96 کو اس طرح رکھیں کہ اس کا اکائی والا ہندسہ سب سے دائیں سلاخ پر ہو: دہائی کی سلاخ پر 9، اکائی کی سلاخ پر 6۔ سوال کا یہی حصہ ہے جو کھایا جاتا ہے۔ طریقہ ختم ہونے تک یہ صفر پڑھتا ہے، یا باقی سنبھالے ہوتا ہے۔ 96 ÷ 3
مقسوم علیہ بہت بائیں طرف بیٹھتا ہے۔ 3 کو سب سے بائیں سلاخ پر رکھیں، اس کے اور مقسوم کے بیچ کچھ سلاخیں فالتو چھوڑ کر۔ فریم اب 300096 پڑھتا ہے، اور یہ عدد حساب کے طور پر کچھ معنی نہیں رکھتا — یہ منکوں کی ایک ہی قطار میں بیٹھی تین الگ چیزیں ہیں۔ علاقے پڑھیں، پورا عدد کبھی نہیں۔ 96 ÷ 3
بیچ کی سلاخیں جواب ہیں، جو ابھی انتظار میں ہے۔ مقسوم علیہ اور مقسوم کے بیچ خالی سلاخیں فالتو جگہ نہیں۔ جواب انہی پر لکھا جاتا ہے، ایک وقت میں ایک ہندسہ۔ یہاں جو سلاخ چمک رہی ہے، اسی پر جواب کا اکائی والا ہندسہ اترے گا — مقسوم کی اکائی والی سلاخ سے دو سلاخیں بائیں، اور یہ ہمیشہ دو ہی ہوتی ہیں۔ 96 ÷ 3
مکمل فریم، حاصل کرنے سے پہلے ہی دکھا دیا گیا۔ یہ 96 ÷ 3 ہے، طریقہ مکمل ہونے کے بعد: مقسوم علیہ 3 اب بھی بائیں طرف، مقسوم والا علاقہ خالی ہو کر 00، اور درمیان میں 32 کھڑا ہوا۔ 2 — یعنی جواب کا اکائی والا ہندسہ — چمکتی ہوئی سلاخ پر ہے، بالکل دو سلاخیں اُس سلاخ سے بائیں جس پر 6 بیٹھا تھا۔ 96 ÷ 3 = 32
دو سلاخیں کیوں، ایک کیوں نہیں۔ جو سلاخ اب چمک رہی ہے وہ مقسوم کی دہائی والی سلاخ ہے، اور طریقے کے بیشتر حصے میں وہ استعمال میں تھی۔ ایک ہندسے سے تقسیم کرنے پر جواب میں اتنے ہی ہندسے آ سکتے ہیں جتنے مقسوم میں ہیں، اس لیے صرف ایک سلاخ کے فاصلے پر جواب کو یہی سلاخ چاہیے ہوتی جب مقسوم ابھی اس پر ہوتا۔ دو سب سے چھوٹا فاصلہ ہے جس پر کبھی ٹکراؤ نہیں ہوتا۔ اس فریم اور پچھلے فریم کے بیچ کوئی منکا نہیں ہلا — صرف اشارہ بدلا ہے کہ کون سی سلاخ دیکھنی ہے۔ 96 ÷ 3 = 32
دوسرا حصہ — دو بار حل: پہلے پورا، پھر درستی کے ساتھ
سوال سیٹ کریں۔ مقسوم علیہ 3 بالکل بائیں طرف، مقسوم 96 دائیں طرف اس کے اکائی والے ہندسے کو اکائی کی سلاخ پر رکھ کر، اور دونوں کے بیچ خالی سلاخیں۔ فریم کے نیچے کی سطر اسے 300096 کہے گی، ایک ہی بے وقفہ لڑی میں؛ یہ منکوں کا کھرا میزان ہے اور ایسا عدد ہرگز نہیں جسے یہ طریقہ کبھی استعمال کرتا ہو۔ 96 ÷ 3 = 32
شروع والا ہندسہ تقسیم کریں، نتیجہ دو سلاخیں بائیں لکھیں۔ 9 مقسوم کی دہائی والی سلاخ پر کھڑا ہے۔ تین، نو میں تین بار جاتا ہے، تو ہندسہ 3 ہے اور وہ اُس 9 سے دو سلاخیں بائیں جاتا ہے۔ وہاں تین زمینی منکے اٹھتے ہیں۔ مقسوم میں ابھی کچھ نہیں بدلا — ہندسے کا دعویٰ کر لیا گیا ہے، اس کی قیمت ادا نہیں ہوئی۔ 9 ÷ 3 = 3
اب اس کی قیمت ادا کریں۔ جو ہندسہ آپ نے ابھی لکھا اس کی قیمت 3 × 3 = 9 ہے، اور یہ اُسی سلاخ سے اترتی ہے جسے آپ نے تقسیم کیا۔ آسمانی منکا اوپر اور چار زمینی منکے نیچے، اور مقسوم کی دہائی والی سلاخ 0 پڑھتی ہے۔ اس حرکت کو جو بھی منکا چاہیے وہ پہلے سے درست طرف ہے، اس لیے کوئی متمم شامل نہیں۔ یہی قدم اگلے قدم کو جائز بناتا ہے۔ 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
ایک سلاخ دائیں سرکیں اور یہی دوبارہ کریں۔ مقسوم میں سے جو بچا وہ 6 ہے، اکائی کی سلاخ پر کھڑا۔ تین، چھ میں دو بار جاتا ہے، تو 2 اس سے دو سلاخیں بائیں لکھا جاتا ہے — عین پہلے والے 3 کے دائیں۔ جواب بائیں سے دائیں بن رہا ہے، ایک وقت میں ایک سلاخ، اُسی ترتیب میں جس میں وہ پڑھا جاتا ہے۔ 6 ÷ 3 = 2
اس کی قیمت بھی ادا کریں۔ 2 × 3 = 6 اکائی کی سلاخ سے اترتا ہے: آسمانی منکا اوپر، ایک زمینی منکا نیچے، اور سلاخ 0 پڑھتی ہے۔ مقسوم والا علاقہ خالی ہے، اور soroban پر پوری تقسیم کا منظر یہی ہوتا ہے۔ 2 × 3 = 6, 6 − 6 = 0
درمیان پڑھیں۔ مقسوم والا علاقہ 00 پڑھ رہا ہے، تو کچھ باقی نہیں۔ خارج قسمت والا علاقہ 3 اور پھر 2 پڑھ رہا ہے، تو جواب 32 ہے، اور 32 × 3 = 96۔ اس کا اکائی والا ہندسہ اُس سلاخ سے دو بائیں ہے جہاں مقسوم کا اکائی والا ہندسہ تھا، بالکل ویسے جیسے پہلے حصے میں کہا گیا تھا۔ 96 ÷ 3 = 32
وہی ترتیب، مشکل سوال۔ مقسوم علیہ 6 بالکل بائیں طرف، مقسوم 42 دائیں طرف۔ حساب آسان ہے — زیادہ تر لوگ بغیر فریم کے بتا دیں گے کہ 42 ÷ 6 = 7۔ ساری مشکل یہ ہے کہ وہ 7 کس سلاخ پر جائے، اس لیے پورے صفحے میں یہی اکلوتا باب ہے جہاں دل کو بھانے والی حرکت کو غلط ہوتے دکھایا گیا ہے۔ 42 ÷ 6 = ?
یہ فریم جان بوجھ کر غلط ہے۔ یہ رہا 7، خارج قسمت کی پہلی سلاخ پر رکھا ہوا، جیسے پچھلی مثال شروع ہوئی تھی۔ مگر وہ سلاخ جواب کی دہائی والی سلاخ ہے، تو فریم اب 70 کا دعویٰ کر رہا ہے — اور 70 × 6 = 420 ہے، 42 نہیں۔ اس تصویر کی ہر سلاخ soroban کا جائز ہندسہ ہے، اس کے پیچھے کا حساب بھی درست تھا، اور جواب دس گنا کے فرق سے غلط ہے۔ اس طریقے کا اکلوتا اصل خطرہ یہی ہے۔ 70 × 6 = 420, not 42
اسے واپس لیں، اور سوال ٹھیک طرح پوچھیں۔ کچھ لکھنے سے پہلے اُس ہندسے کو دیکھیں جسے آپ تقسیم کر رہے ہیں۔ چھ، چار میں جاتا ہی نہیں، تو اس جواب کی کوئی دہائی ہے ہی نہیں اور وہ سلاخ خالی رہے گی۔ 7 کو واپس اتار دیں اور فریم ویسا ہی ہو جائے گا جیسا تھا۔ 6 > 4
حصہ 42 ہے، اور اس کا نچلا ہندسہ اکائی کی سلاخ پر ہے۔ چونکہ 6، 4 میں نہیں گیا، اس لیے تقسیم ہونے والا حصہ پورا 42 ہے، جس کا نچلا ہندسہ اکائی کی سلاخ پر کھڑا ہے۔ اس سے دو سلاخیں بائیں وہ جگہ ہے جہاں 7 کا حق ہے: آسمانی منکا نیچے، دو زمینی منکے اوپر۔ اصول نہیں بدلا — وہ ہندسہ بدلا جس پر اسے لگایا گیا۔ 42 ÷ 6 = 7
اس کی قیمت ادا کریں، پہلے دہائی۔ 7 × 6 = 42، اور یہی 42 مقسوم میں سے ہندسہ بہ ہندسہ اترتا ہے۔ مقسوم کی دہائی والی سلاخ پر چار زمینی منکے گرتے ہیں اور وہ 0 پڑھتی ہے۔ 7 × 6 = 42, 4 − 4 = 0
پھر اکائی۔ اکائی کی سلاخ پر دو زمینی منکے گرتے ہیں اور وہ بھی 0 پڑھتی ہے۔ مقسوم والا علاقہ صاف ہے، تو یہ سوال بھی پورا اترا۔ 7 × 6 = 42, 2 − 2 = 0
درمیان دوبارہ پڑھیں۔ خارج قسمت والا علاقہ 0 اور پھر 7 پڑھ رہا ہے، تو جواب 7 ہے — اور وہ اُسی سلاخ پر کھڑا ہے جس پر پچھلے باب میں 32 کا 2 اترا تھا۔ ایک ہندسے کا جواب اور دو ہندسوں کا جواب اپنا اکائی والا ہندسہ بالکل ایک ہی سلاخ پر رکھتے ہیں، کیونکہ وہ سلاخ مقسوم سے طے ہوتی ہے، اس سے نہیں کہ جواب کتنا بڑا نکلا۔ 42 ÷ 6 = 7
تیسرا حصہ — اب آپ کی باری
جواب کا پہلا ہندسہ لکھیں۔ فریم سیٹ ہے — بائیں 3، دائیں 96 — اور منکے چالو ہیں۔ نو تقسیم تین برابر تین؛ وہ 3 اُس 9 سے دو سلاخیں بائیں رکھیں۔ یہ قدم پورے فریم پر جانچا جاتا ہے، اس لیے وہی ہندسہ ایک سلاخ ادھر ادھر ہو تو وہ الگ عدد ہے اور پاس نہیں ہوگا۔ یہاں امتحان سلاخ کا ہے، حساب کا نہیں۔ 9 ÷ 3 = 3, two rods left of the 9
اب اس کی قیمت صاف کریں۔ فریم 303096 پڑھ رہا ہے۔ مقسوم کی دہائی والی سلاخ سے 3 × 3 = 9 اتار دیں تاکہ فریم 303006 پڑھے — آسمانی منکا اوپر، چار زمینی منکے نیچے۔ اگر راستے میں کہیں اور جا رکے تو اسے چھوڑیں اور آگے بڑھیں؛ جانچا صرف یہ جاتا ہے کہ منکے رکتے کہاں ہیں۔ 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
ایک سلاخ دائیں، اور پھر لکھیں۔ مقسوم میں سے جو بچا وہ اکائی کی سلاخ پر 6 ہے۔ چھ تقسیم تین برابر دو — اسے اُس 6 سے دو سلاخیں بائیں لکھیں، جو اسے عین اُس 3 کے دائیں لے آتا ہے جو آپ نے تھوڑی دیر پہلے لکھا تھا۔ جواب بائیں سے دائیں بنتا ہے، ایک وقت میں ایک سلاخ۔ 6 ÷ 3 = 2, two rods left of the 6
مقسوم کا بچا ہوا حصہ صاف کریں۔ اکائی کی سلاخ سے 2 × 3 = 6 اتار دیں تاکہ فریم 303200 پڑھے۔ مقسوم والا علاقہ خالی ہے، فریم کا درمیان 32 پڑھ رہا ہے، اور تقسیم مکمل۔ 2 × 3 = 6, 96 ÷ 3 = 32
ہندسہ آسان ہے۔ امتحان سلاخ کا ہے۔ مقسوم علیہ 6، مقسوم 42، اور آپ کو پہلے سے معلوم ہے کہ جواب 7 ہے۔ چھ، 4 میں جاتا نہیں، تو کوئی دہائی والا ہندسہ ہے ہی نہیں: 7 کا حق مقسوم کی اکائی والی سلاخ سے دو سلاخیں بائیں ہے۔ اسے ایک سلاخ اور بائیں رکھ دیں تو فریم ستر کا دعویٰ کرے گا — قدم اسے قبول نہیں کرے گا، اور اس صفحے کا سارا سبق یہی ہے۔ 42 ÷ 6 = 7, two rods left of the units rod
حاصلِ ضرب نکالیں اور جواب پڑھ لیں۔ 7 × 6 = 42۔ مقسوم کی دہائی والی سلاخ سے چار اور اکائی والی سلاخ سے دو اتار دیں تاکہ فریم 600700 پڑھے۔ مقسوم والا علاقہ خالی ہے، درمیان 7 پڑھ رہا ہے، اور 7 × 6 = 42۔ 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7
سات سلاخیں، کوئی ہدف نہیں۔ سکھائے گئے ہر فریم سے ایک سلاخ چوڑا، تاکہ تین ہندسوں کا مقسوم بھی سما جائے۔ کوئی ایسا سوال رکھیں — مثلاً 837 اور بالکل بائیں طرف کھڑا ہوا 3 — اور اسے چلا کر دیکھیں: جواب دائیں طرف انہی سلاخوں میں بڑھتا چلا جاتا ہے جنہیں مقسوم پہلے ہی خالی کر چکا ہے، اور دو سلاخوں کا فاصلہ پھر بھی قائم رہتا ہے، کیونکہ وہ کسی خلا سے نہیں بلکہ تقسیم ہونے والے ہندسے سے ناپا جاتا ہے۔ یہاں کچھ جانچا نہیں جا رہا۔
اب آگے کہاں جائیں
وہی تکنیک، چار الگ کام۔ یہ صفحہ رہنمائی تھا؛ باقی یہ ہیں، اور ان میں سے کوئی بھی اس کی جگہ نہیں لیتا۔
باقی رہنمائیاں
پانچ تکنیکیں، ایک ہی سیڑھی۔ ہر ایک اپنی الگ رہنمائی ہے جس کے اپنے منکے ہلانے کو ہیں، اور یہاں انہیں اُسی ترتیب سے رکھا گیا ہے جس میں سیکھنے والا ان سے ملتا ہے۔