ستة وتسعون على الإطار، مقسومة على ثلاثة. لا شيء هنا صعب التحريك. الناقص هو مكان تضع فيه الجواب. على الورق يُكتب خارج القسمة فوق المقسوم، والسوروبان لا «فوق» فيه — فيه يسار. فقبل أن يجري أيّ حساب، تحتاج القسمة قاعدةً تحدّد أيّ عمود، وتلك القاعدة هي هذه الصفحة. 96 ÷ 3 = ?
جولة تفاعليّة · من متقدّم ب إلى المستوى الكبير
القسمة على العدّاد: على أيّ عمود يُكتب الجواب
كوّن المقسوم على يمين الإطار وآحادُه على العمود الأقصى يميناً، واركن المقسوم عليه بعيداً إلى اليسار. اقسم الرقم الذي تعمل عليه، واكتب الناتج على بُعد عمودين إلى يساره، ثم اطرح ما كلّفه ذلك الرقم من المقسوم وانتقل عموداً واحداً يميناً. آحاد الجواب تحطّ دائماً على بُعد عمودين يسار آحاد المقسوم — وتلك الإزاحة هي التقنية. تسعة فصول، وستٌّ وعشرون خطوة، والثلث الأخير يسلّمك الخرزات.
ما تطلبه منك هذه الصفحة
ليست هذه ورقة تمارين ولا مقالاً. كل فصل إطارُ عدّاد حقيقيّ وبجانبه شرح، والثلث الأخير يسلّمك الخرزات. وتحذير واحد بشأن القراءة أسفل الإطار: فهي تعلن صفّ الخرزات كلّه عدداً واحداً، فالإطار المجهّز يقرأ 300096، بلا فواصل. ذلك العدد صادق عن الخرزات وبلا معنى حساباً — فالإطار ثلاث مناطق تتقاسم صفاً واحداً، والنصّ بجانب كل خطوة يواصل تسمية كلٍّ منها.
القسمة آخر تقنية على السلّم. يلقاها المتعلّم في نهاية «متقدّم ب»، بعد أن يثبت الضرب متعدّد الخانات، ويعمل عليها عبر «المستوى الكبير»، الدرجة التاسعة. والضرب شرطها السابق حرفياً: فكل خطوة في هذه الطريقة تطرح ناتج ضرب، ومن ما زال يحسب تلك النواتج بجهد فمكانه تلك الجولة أولاً.
كيف تقسم على السوروبان؟
كوّن المقسوم على اليمين وآحادُه على العمود الأقصى يميناً، والمقسوم عليه بعيداً إلى اليسار وبينهما أعمدة فارغة. انظر إلى مقدّمة المقسوم، واحسب كم مرّة يدخل فيها المقسوم عليه، واكتب ذلك الرقم على بُعد عمودين يسار الرقم الذي قسمته. ثم اضربه بالمقسوم عليه من جديد واطرح الناتج من المقسوم، رقماً رقماً. ثم انتقل عموداً واحداً إلى اليمين وافعل الشيء نفسه. وحين تفرغ منطقة المقسوم، يكون وسط الإطار هو الجواب.
عمودان، لا عمود واحد — هذا هو الجزء الذي يستحقّ الحفظ. المقسوم عليه من خانة واحدة قد ينتج جواباً بعدد خانات المقسوم نفسه، فمع فجوة عمود واحد سيريد الجواب عموداً ما زال المقسوم جالساً عليه. اثنان هو أصغر إزاحة لا تصطدم أبداً. قِسها من الرقم الذي تقسمه لا من حافة العدد، وستظلّ صامدة مع المقسومات من ثلاث خانات وأطول.
حرّك الخرزات بنفسك
الإطار يعرض 96.
الدرس كاملاً، مكتوباً
الجزء الأول — السوروبان لا «فوق» فيه
المقسوم يجلس على اليمين. كوّن 96 وآحادُها على العمود الأقصى يميناً: 9 على عمود العشرات، و6 على عمود الآحاد. هذه المنطقة هي الجزء الذي يُؤكل من المسألة. في نهاية الطريقة تقرأ صفراً، أو تحمل الباقي. 96 ÷ 3
المقسوم عليه يجلس بعيداً إلى اليسار. ضع الـ 3 على العمود الأقصى يساراً، وبينه وبين المقسوم أعمدة فائضة. يقرأ الإطار الآن 300096، وذلك العدد لا يعني شيئاً حساباً — إنه ثلاثة أشياء منفصلة تتقاسم صفاً واحداً من الخرزات. اقرأ المناطق، ولا تقرأ المجموع أبداً. 96 ÷ 3
الأعمدة التي بينهما هي الجواب، منتظراً. الأعمدة الفارغة بين المقسوم عليه والمقسوم ليست فراغاً مهدوراً. فهناك يُكتب الجواب، رقماً واحداً في كل مرّة. والعمود المتوهّج هنا هو حيث سيحطّ رقم آحاده — على بُعد عمودين يسار عمود آحاد المقسوم، وهما اثنان دائماً. 96 ÷ 3
الإطار المكتمل، معروضاً قبل أن يُستحقّ. هذه هي 96 ÷ 3 وقد اكتملت الطريقة: المقسوم عليه 3 ما زال على اليسار، ومنطقة المقسوم أُفرغت إلى 00، و32 واقفة في الوسط. والـ 2 — رقم آحاد الجواب — على العمود المتوهّج، على بُعد عمودين بالضبط يسار العمود الذي كانت الـ 6 جالسة عليه. 96 ÷ 3 = 32
لماذا عمودان لا عمود واحد. العمود المتوهّج الآن هو عمود عشرات المقسوم، وقد كان مستعمَلاً معظم الطريقة. القسمة على خانة واحدة قد تنتج جواباً بعدد خانات المقسوم نفسه، فمع فجوة عمود واحد فقط سيحتاج الجواب هذا العمود والمقسومُ ما زال عليه. اثنان هو أصغر فجوة لا تصطدم أبداً. لم تتحرّك خرزة بين هذا الإطار وسابقه — الذي تغيّر هو العمود المُشار إليه فحسب. 96 ÷ 3 = 32
الجزء الثاني — محلولة مرّتين: تامّةً، ثم مصحَّحة
جهّز المسألة. المقسوم عليه 3 في أقصى اليسار، والمقسوم 96 على اليمين وآحادُه على عمود الآحاد، وبينهما أعمدة فارغة. سيسمّي السطر أسفل الإطار هذا 300096، في سلسلة واحدة بلا فواصل؛ وذلك هو مجموع الخرزات الصادق، وليس عدداً تستعمله هذه الطريقة قطّ. 96 ÷ 3 = 32
اقسم الرقم الأول، واكتب الناتج على بُعد عمودين يساراً. الـ 9 واقفة على عمود عشرات المقسوم. الثلاثة تدخل في التسعة ثلاث مرّات، فالرقم هو 3 ويذهب على بُعد عمودين يسار تلك الـ 9. ترتفع هناك ثلاث خرزات أرض. لم يتغيّر في المقسوم شيء بعد — الرقم ادُّعي ولم يُدفَع ثمنه. 9 ÷ 3 = 3
الآن ادفع ثمنه. الرقم الذي كتبته للتوّ يكلّف 3 × 3 = 9، وهذا يُطرح من العمود الذي قسمته. خرزة السماء صعوداً وأربع خرزات أرض نزولاً، فيقرأ عمود عشرات المقسوم 0. كل خرزة تحتاجها هذه الحركة موجودة أصلاً في الجهة المطلوبة، فلا مكمّل هنا. وهذه هي الخطوة التي تجعل التالية مشروعة. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
انتقل عموداً واحداً يميناً وكرّر. الباقي من المقسوم هو 6، واقفة على عمود الآحاد. الثلاثة تدخل في الستة مرّتين، فتُكتب 2 على بُعد عمودين يسارها — على يمين الـ 3 السابقة مباشرةً. الجواب يُبنى من اليسار إلى اليمين، عموداً عموداً، بالترتيب الذي يُقرأ به. 6 ÷ 3 = 2
ادفع ثمن هذه أيضاً. الناتج 2 × 3 = 6 يُطرح من عمود الآحاد: خرزة السماء صعوداً، وخرزة أرض واحدة نزولاً، فيقرأ العمود 0. منطقة المقسوم فارغة، وهكذا تبدو القسمة التامّة على السوروبان. 2 × 3 = 6, 6 − 6 = 0
اقرأ الوسط. منطقة المقسوم تقرأ 00، فلا شيء مُستحَقّ. ومنطقة خارج القسمة تقرأ 3 ثم 2، فالجواب 32، و32 × 3 = 96. وآحاده على العمود الذي يبعد عمودين يسار حيث كانت آحاد المقسوم، تماماً كما وعد الجزء الأول. 96 ÷ 3 = 32
التجهيز نفسه، وسؤال أصعب. المقسوم عليه 6 في أقصى اليسار، والمقسوم 42 على اليمين. الحساب سهل — معظم الناس يقولون 42 ÷ 6 = 7 بلا إطار أمامهم. الصعوبة كلّها في أيّ عمود تذهب إليه تلك الـ 7، فهذا هو الفصل الوحيد في الصفحة الذي تُعرَض فيه الحركة المغرية وهي تُخطئ. 42 ÷ 6 = ?
هذا الإطار غلطة، عن قصد. ها هي الـ 7 موضوعة على أول عمود لخارج القسمة، كما بدأ المثال السابق. لكن ذلك العمود هو عمود عشرات الجواب، فالإطار يدّعي الآن 70 — و70 × 6 = 420، لا 42. كل عمود في هذه الصورة رقمُ سوروبان سليم، والحساب وراءه كان صحيحاً، والجواب منحرف بمقدار عشرة أضعاف. هذا هو الخطر الحقيقيّ الوحيد في هذه الطريقة. 70 × 6 = 420, not 42
استرجعها، واطرح السؤال كما ينبغي. قبل أن تكتب شيئاً، انظر إلى الرقم الذي تقسمه. الستة لا تدخل في الأربعة، فهذا الجواب لا رقم عشرات له إطلاقاً ويبقى ذلك العمود فارغاً. أنزِل الـ 7 عائدةً فيعود الإطار كما كان. 6 > 4
القطعة هي 42، ورقمها الأدنى على عمود الآحاد. لأن الـ 6 لم تدخل في الـ 4، فالجزء المقسوم هو 42 كلّها، ورقمها الأدنى واقف على عمود الآحاد. وعلى بُعد عمودين يسار ذلك مكان الـ 7: خرزة السماء نزولاً، وخرزتا أرض صعوداً. القاعدة لم تتغيّر — الذي تغيّر هو الرقم الذي طُبّقت عليه. 42 ÷ 6 = 7
ادفع ثمنها، العشرات أولاً. الناتج 7 × 6 = 42، وتلك الـ 42 تُطرح من المقسوم رقماً رقماً. تنزل أربع خرزات أرض على عمود عشرات المقسوم فيقرأ 0. 7 × 6 = 42, 4 − 4 = 0
ثم الآحاد. تنزل خرزتا أرض على عمود الآحاد فيقرأ 0 هو الآخر. منطقة المقسوم خالية، فهذه أيضاً خرجت تامّة. 7 × 6 = 42, 2 − 2 = 0
اقرأ الوسط من جديد. منطقة خارج القسمة تقرأ 0 ثم 7، فالجواب 7 — وهو واقف على العمود نفسه الذي حطّت عليه الـ 2 من 32 في الفصل السابق. الجواب من خانة والجواب من خانتين يضعان آحادهما على العمود نفسه بالضبط، لأن ذلك العمود يثبّته المقسوم لا حجمُ الجواب حين يتّضح. 42 ÷ 6 = 7
الجزء الثالث — دورك
اكتب أول رقم من الجواب. الإطار مجهَّز — 3 على اليسار، و96 على اليمين — والخرزات حيّة. تسعة على ثلاثة تساوي ثلاثة؛ ضع تلك الـ 3 على بُعد عمودين يسار الـ 9. تُقيَّم الخطوة على الإطار كلّه، فالرقم نفسه على عمود مجاور عددٌ مختلف ولن يمرّ. العمود هو الامتحان هنا، لا الحساب. 9 ÷ 3 = 3, two rods left of the 9
الآن اطرح ما كلّفه. الإطار يقرأ 303096. اطرح 3 × 3 = 9 من عمود عشرات المقسوم حتى يقرأ الإطار 303006 — خرزة السماء صعوداً، وأربع خرزات أرض نزولاً. وإن حطّ في موضع غير متوقّع في الطريق، فدعه وواصل؛ فلا يُحكَم إلا على حيث تتوقّف الخرزات. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
عمود واحد يميناً، واكتب من جديد. الباقي من المقسوم هو 6 على عمود الآحاد. ستة على ثلاثة تساوي اثنين — اكتبها على بُعد عمودين يسار تلك الـ 6، فيضعها ذلك على يمين الـ 3 التي كتبتها قبل لحظة مباشرةً. الجواب يُبنى من اليسار إلى اليمين، عموداً عموداً. 6 ÷ 3 = 2, two rods left of the 6
أفرِغ ما بقي من المقسوم. اطرح 2 × 3 = 6 من عمود الآحاد حتى يقرأ الإطار 303200. منطقة المقسوم فارغة، ووسط الإطار يقرأ 32، وانتهت القسمة. 2 × 3 = 6, 96 ÷ 3 = 32
الرقم سهل. العمود هو الامتحان. المقسوم عليه 6، والمقسوم 42، وأنت تعرف سلفاً أن الجواب 7. الستة لا تدخل في الأربعة، فلا رقم عشرات هنا: مكان الـ 7 على بُعد عمودين يسار عمود آحاد المقسوم. ضعها عموداً أبعد يساراً فيدّعي الإطار سبعين — ولن تقبلها الخطوة، وهذا هو درس هذه الصفحة كلّه. 42 ÷ 6 = 7, two rods left of the units rod
اطرح ناتج الضرب واقرأ الجواب. الناتج 7 × 6 = 42. اطرح أربعة من عمود عشرات المقسوم واثنين من عمود الآحاد حتى يقرأ الإطار 600700. منطقة المقسوم فارغة، والوسط يقرأ 7، و7 × 6 = 42. 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7
سبعة أعمدة، وبلا هدف. أوسع بعمود واحد من كل الإطارات المعلَّمة، فيتّسع لمقسوم من ثلاث خانات. كوّن واحداً — 837 مع 3 مركونة في أقصى اليسار مثلاً — واعمله حتى النهاية: يزحف الجواب يميناً إلى أعمدة أفرغها المقسوم قبله، وتظلّ إزاحة العمودين صامدة، لأنها تُقاس من الرقم المقسوم لا من فجوة. لا شيء هنا يُقيَّم.
إلى أين تمضي من هنا
التقنية نفسها، وأربع مهامّ مختلفة. كانت هذه الصفحة هي الجولة؛ وهذه بقيّة المواضع، ولا شيء منها يحلّ محلّها.
الجولات الأخرى
خمس تقنيات على سلّم واحد. لكلٍّ منها جولتها الخاصة وخرزاتها التي تتحرّك، وهي مرتّبة هنا بالترتيب الذي يلقاها به المتعلّم.