अबेकस से भाग: जवाब किस छड़ पर जाता है

काग़ज़ पर आप उसे ऊपर लिखते हैं

फ़्रेम पर छियानवे, और तीन से भाग। यहाँ हिलाने में कुछ भी मुश्किल नहीं। कमी यह है कि जवाब रखें कहाँ। काग़ज़ पर भागफल भाज्य के ऊपर लिखा जाता है, और सोरोबान पर “ऊपर” होता ही नहीं — उस पर “बाएँ” होता है। इसलिए कोई भी गणित शुरू होने से पहले भाग को एक नियम चाहिए कि कौन सी छड़, और यह पन्ना वही नियम है। 96 ÷ 3 = ?

एक फ़्रेम, तीन इलाक़े

भाज्य दाईं ओर बैठता है। 96 को इस तरह बनाइए कि उसका इकाई अंक सबसे दाईं छड़ पर हो: दहाई वाली छड़ पर 9, इकाई वाली छड़ पर 6। सवाल का यही वह हिस्सा है जो खाया जाता है। पद्धति के आख़िर तक यह शून्य पढ़ने लगता है, या शेष थामे रहता है। 96 ÷ 3

भाजक दूर बाईं ओर बैठता है। उस 3 को सबसे बाईं छड़ पर रखिए, और उसके तथा भाज्य के बीच छड़ें बची रहने दीजिए। अब फ़्रेम 300096 पढ़ता है, और गणित के हिसाब से उस संख्या का कोई मतलब नहीं — वह मनकों की एक ही क़तार साझा करती तीन अलग चीज़ें हैं। इलाक़े पढ़िए, कुल कभी नहीं। 96 ÷ 3

बीच की छड़ें ही जवाब हैं, इंतज़ार करता हुआ। भाजक और भाज्य के बीच की ख़ाली छड़ें बेकार की ढील नहीं हैं। जवाब वहीं लिखा जाता है, एक बार में एक अंक। यहाँ जो छड़ चमक रही है, उसी पर उसका इकाई अंक उतरेगा — भाज्य की इकाई वाली छड़ से दो छड़ बाईं ओर, और वह हमेशा दो ही होती हैं। 96 ÷ 3

जवाब उतरता कहाँ है

पूरा हो चुका फ़्रेम, कमाए जाने से पहले ही दिखा दिया गया। यह 96 ÷ 3 है, पद्धति पूरी होने के बाद: भाजक 3 अब भी बाईं ओर, भाज्य वाला इलाक़ा ख़ाली होकर 00, और बीच में 32 खड़ा हुआ। वह 2 — यानी जवाब का इकाई अंक — चमकती हुई छड़ पर है, ठीक उस छड़ से दो छड़ बाईं ओर जिस पर वह 6 बैठा था। 96 ÷ 3 = 32

दो छड़ें क्यों, एक क्यों नहीं। अभी जो छड़ चमक रही है, वह भाज्य की दहाई वाली छड़ है, और पद्धति के ज़्यादातर हिस्से में वह इस्तेमाल हो रही थी। एक अंक से भाग देने पर ऐसा जवाब निकल सकता है जिसमें उतने ही अंक हों जितने भाज्य में हैं, इसलिए बीच में सिर्फ़ एक छड़ का फ़ासला रखने पर जवाब को यही छड़ चाहिए होती, जबकि भाज्य अब भी उस पर बैठा था। दो सबसे छोटा फ़ासला है जो कभी नहीं टकराता। इस फ़्रेम और पिछले फ़्रेम के बीच एक भी मनका नहीं हिला — बस इशारा किसी और छड़ की ओर है। 96 ÷ 3 = 32

पूरा हल: 96 ÷ 3

सवाल जमाइए। भाजक 3 दूर बाईं ओर, भाज्य 96 दाईं ओर अपने इकाई अंक के साथ इकाई वाली छड़ पर, और बीच में ख़ाली छड़ें। फ़्रेम के नीचे वाली पंक्ति इसे 300096 कहेगी, एक ही बिना विराम की लड़ी में; मनकों का ईमानदार कुल यही है, और यह पद्धति ऐसी कोई संख्या कभी इस्तेमाल नहीं करती। 96 ÷ 3 = 32

सबसे आगे वाले अंक में भाग दीजिए, नतीजा दो छड़ बाईं ओर लिखिए। वह 9 भाज्य की दहाई वाली छड़ पर खड़ा है। तीन नौ में तीन बार जाता है, इसलिए अंक 3 है और वह उसी 9 से दो छड़ बाईं ओर जाता है। वहाँ तीन पृथ्वी मनके ऊपर उठते हैं। भाज्य में अभी कुछ नहीं बदला — अंक का दावा किया गया है, उसकी क़ीमत अभी चुकाई नहीं गई। 9 ÷ 3 = 3

अब उसकी क़ीमत चुकाइए। आपने जो अंक अभी लिखा, उसकी क़ीमत 3 × 3 = 9 है, और वह उसी छड़ से उतरती है जिसमें आपने भाग दिया था। स्वर्ग मनका ऊपर और चार पृथ्वी मनके नीचे, और भाज्य की दहाई वाली छड़ 0 पढ़ती है। इस चाल को जो भी मनके चाहिए, वे पहले से सही तरफ़ हैं, इसलिए यहाँ कोई पूरक नहीं लगता। यही वह क़दम है जो अगले क़दम को जायज़ बनाता है। 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0

एक छड़ दाईं ओर बढ़िए और वही दोबारा कीजिए। भाज्य में जो बचा है वह 6 है, जो इकाई वाली छड़ पर खड़ा है। तीन छह में दो बार जाता है, इसलिए उससे दो छड़ बाईं ओर एक 2 लिखा जाता है — यानी पहले वाले 3 के ठीक दाईं ओर। जवाब बाएँ से दाएँ बन रहा है, एक बार में एक छड़, ठीक उसी क्रम में जिसमें उसे पढ़ा जाता है। 6 ÷ 3 = 2

उसकी क़ीमत भी चुकाइए। 2 × 3 = 6 इकाई वाली छड़ से उतरता है: स्वर्ग मनका ऊपर, एक पृथ्वी मनका नीचे, और छड़ 0 पढ़ती है। भाज्य वाला इलाक़ा ख़ाली है, और सोरोबान पर पूरा-पूरा बँट जाना ऐसा ही दिखता है। 2 × 3 = 6, 6 − 6 = 0

बीच वाला हिस्सा पढ़िए। भाज्य वाला इलाक़ा 00 पढ़ता है, इसलिए कुछ बाक़ी नहीं। भागफल वाला इलाक़ा पहले 3 और फिर 2 पढ़ता है, इसलिए जवाब 32 है, और 32 × 3 = 96। उसका इकाई अंक उस छड़ से दो छड़ बाईं ओर है जहाँ भाज्य का इकाई अंक था — ठीक वैसे ही जैसा भाग एक ने वादा किया था। 96 ÷ 3 = 32

जब पहली छड़ ही ग़लत छड़ हो: 42 ÷ 6

वैसी ही तैयारी, सवाल ज़्यादा कठिन। भाजक 6 दूर बाईं ओर, भाज्य 42 दाईं ओर। गणित आसान है — ज़्यादातर लोग बिना फ़्रेम के भी कह देंगे कि 42 ÷ 6 = 7। पूरी मुश्किल यह है कि वह 7 किस छड़ पर जाएगा, इसलिए इस पन्ने पर यही एक अध्याय है जहाँ लुभाने वाली चाल को ग़लत होते हुए दिखाया गया है। 42 ÷ 6 = ?

यह फ़्रेम एक ग़लती है, जान-बूझकर। यह रहा वह 7, भागफल की पहली छड़ पर गिरा हुआ — ठीक वैसे जैसे पिछला उदाहरण शुरू हुआ था। पर वह छड़ जवाब की दहाई वाली छड़ है, इसलिए फ़्रेम अब 70 का दावा कर रहा है — और 70 × 6 = 420 होता है, 42 नहीं। इस तस्वीर की हर छड़ एक जायज़ सोरोबान अंक है, उसके पीछे का गणित भी सही था, और जवाब दस गुना ग़लत निकला। इस पद्धति का असल में यही एक ख़तरा है। 70 × 6 = 420, not 42

उसे वापस लीजिए, और सवाल ठीक से पूछिए। कुछ भी लिखने से पहले उस अंक को देखिए जिसमें आप भाग दे रहे हैं। छह चार में जाता ही नहीं, इसलिए इस जवाब में दहाई का अंक है ही नहीं और वह छड़ ख़ाली रहेगी। उस 7 को वापस उतार दीजिए और फ़्रेम जैसा था वैसा हो जाता है। 6 > 4

हिस्सा पूरा 42 है, और उसका निचला अंक इकाई वाली छड़ पर है। चूँकि 6, 4 में नहीं गया, इसलिए जिस हिस्से में भाग दिया जा रहा है वह पूरा 42 है, जिसका निचला अंक इकाई वाली छड़ पर खड़ा है। उससे दो छड़ बाईं ओर ही उस 7 की जगह है: स्वर्ग मनका नीचे, दो पृथ्वी मनके ऊपर। नियम नहीं बदला — जिस अंक पर वह लगाया गया, वह बदला। 42 ÷ 6 = 7

उसकी क़ीमत चुकाइए, पहले दहाई। 7 × 6 = 42, और वह 42 भाज्य में से अंक-दर-अंक उतरता है। भाज्य की दहाई वाली छड़ पर चार पृथ्वी मनके गिरते हैं और वह 0 पढ़ती है। 7 × 6 = 42, 4 − 4 = 0

फिर इकाई। इकाई वाली छड़ पर दो पृथ्वी मनके गिरते हैं और वह भी 0 पढ़ती है। भाज्य वाला इलाक़ा साफ़ है, तो यह भी पूरा-पूरा बँट गया। 7 × 6 = 42, 2 − 2 = 0

बीच वाला हिस्सा दोबारा पढ़िए। भागफल वाला इलाक़ा पहले 0 और फिर 7 पढ़ता है, इसलिए जवाब 7 है — और वह ठीक उसी छड़ पर खड़ा है जिस पर पिछले अध्याय में 32 का 2 उतरा था। एक अंक का जवाब और दो अंकों का जवाब, दोनों अपना इकाई अंक ठीक एक ही छड़ पर रखते हैं, क्योंकि वह छड़ भाज्य से तय होती है, इससे नहीं कि जवाब कितना बड़ा निकला। 42 ÷ 6 = 7

अब आपकी बारी: 96 ÷ 3, पहला अंक

जवाब का पहला अंक लिखिए। फ़्रेम सजा हुआ है — बाईं ओर 3, दाईं ओर 96 — और मनके अब चलते हैं। नौ में तीन का भाग तीन है; उस 3 को उस 9 से दो छड़ बाईं ओर रखिए। यह क़दम पूरे फ़्रेम पर जाँचा जाता है, इसलिए वही अंक एक छड़ इधर-उधर होते ही अलग संख्या बन जाएगा और पास नहीं होगा। यहाँ इम्तिहान छड़ का है, गणित का नहीं। 9 ÷ 3 = 3, two rods left of the 9

अब उसकी क़ीमत साफ़ कीजिए। फ़्रेम 303096 पढ़ रहा है। भाज्य की दहाई वाली छड़ से 3 × 3 = 9 हटाइए ताकि फ़्रेम 303006 पढ़े — स्वर्ग मनका ऊपर, चार पृथ्वी मनके नीचे। रास्ते में कहीं और जा टिके तो उसे रहने दीजिए और आगे बढ़िए; जाँचा सिर्फ़ यह जाता है कि मनके रुकते कहाँ हैं। 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0

अब आपकी बारी: 96 ÷ 3, दूसरा अंक

एक छड़ दाईं ओर, और फिर लिखिए। भाज्य में जो बचा है वह इकाई वाली छड़ पर 6 है। छह में तीन का भाग दो है — उसे उस 6 से दो छड़ बाईं ओर लिखिए, जो उसे थोड़ी देर पहले लिखे गए 3 के ठीक दाईं ओर बिठा देता है। जवाब बाएँ से दाएँ बनता है, एक बार में एक छड़। 6 ÷ 3 = 2, two rods left of the 6

भाज्य का बचा हुआ हिस्सा साफ़ कीजिए। इकाई वाली छड़ से 2 × 3 = 6 हटाइए ताकि फ़्रेम 303200 पढ़े। भाज्य वाला इलाक़ा ख़ाली है, फ़्रेम का बीच 32 पढ़ता है, और भाग पूरा। 2 × 3 = 6, 96 ÷ 3 = 32

अब आपकी बारी: 42 ÷ 6, वही छड़ जो मायने रखती है

अंक आसान है। इम्तिहान छड़ का है। भाजक 6, भाज्य 42, और जवाब 7 है, यह आप पहले से जानते हैं। छह 4 में जाता नहीं, इसलिए दहाई का कोई अंक है ही नहीं: वह 7 भाज्य की इकाई वाली छड़ से दो छड़ बाईं ओर बैठता है। उसे एक छड़ और बाईं ओर रख दीजिए तो फ़्रेम सत्तर का दावा करने लगेगा — यह क़दम उसे लेगा नहीं, और इस पन्ने का पूरा सबक़ यही है। 42 ÷ 6 = 7, two rods left of the units rod

गुणनफल घटाइए और जवाब पढ़िए। 7 × 6 = 42। भाज्य की दहाई वाली छड़ से चार और इकाई वाली छड़ से दो हटाइए ताकि फ़्रेम 600700 पढ़े। भाज्य वाला इलाक़ा ख़ाली है, बीच वाला हिस्सा 7 पढ़ता है, और 7 × 6 = 42। 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7

खुला खेल

सात छड़ें, कोई लक्ष्य नहीं। सिखाए गए हर फ़्रेम से एक छड़ चौड़ा, ताकि तीन अंकों का भाज्य समा जाए। कोई एक बनाइए — मसलन 837, और दूर बाईं ओर टिका हुआ एक 3 — और उसे पूरा चलाइए: जवाब दाईं ओर उन्हीं छड़ों में बढ़ता जाता है जिन्हें भाज्य पहले ही ख़ाली कर चुका है, और दो छड़ का खिसकाव फिर भी टिका रहता है, क्योंकि उसे किसी ख़ाली जगह से नहीं, जिस अंक में भाग दिया जा रहा है उससे नापा जाता है। यहाँ कुछ भी जाँचा नहीं जाता।