판의 96을 3으로 나눕니다. 여기서 움직이기 어려운 것은 없습니다. 없는 것은 답을 놓을 자리입니다. 종이에서는 몫을 나누어지는 수 위에 적지만, 주판에는 위가 없습니다. 왼쪽이 있을 뿐입니다. 그래서 계산이 시작되기 전에 나눗셈에는 어느 축이냐에 대한 규칙이 필요하고, 이 페이지가 바로 그 규칙입니다. 96 ÷ 3 = ?
인터랙티브 학습 · 상급 B에서 최상급으로
주판 나눗셈: 답이 어느 축에 놓이는가
나누어지는 수는 일의 자리 숫자가 맨 오른쪽 축에 오도록 판 오른쪽에 놓고, 나누는 수는 멀리 왼쪽에 두세요. 지금 다루는 숫자를 나눈 뒤 그 결과를 두 축 왼쪽에 적고, 그 숫자가 쓴 만큼을 나누어지는 수에서 뺀 다음 한 축 오른쪽으로 옮깁니다. 답의 일의 자리 숫자는 언제나 나누어지는 수의 일의 자리에서 두 축 왼쪽에 놓입니다. 그 간격이 곧 이 기법입니다. 9개 장, 26단계, 마지막 3분의 1에서는 알을 여러분에게 넘깁니다.
이 페이지가 요구하는 것
연습지도 아니고 읽을거리도 아닙니다. 장마다 실제 주판의 판 하나와 그 옆의 설명이 있고, 마지막 3분의 1에서는 알을 직접 넘겨줍니다. 판 아래에 읽히는 값에 대해 한 가지 주의할 점이 있습니다. 그것은 알이 놓인 줄 전체를 하나의 수로 알려 주기 때문에, 준비된 판은 구분 없이 300096으로 읽힙니다. 그 수는 알에 대해서는 사실이지만 계산으로는 아무 의미가 없습니다. 판은 한 줄을 나눠 쓰는 세 영역이며, 각 단계 옆의 설명이 어느 것이 어느 것인지 계속 짚어 줍니다.
나눗셈은 이 과정의 마지막 기법입니다. 학습자는 여러 자리 곱셈이 안정된 뒤 상급 B의 끝에서 이것을 만나고, 아홉 번째 단계인 최상급에서 익혀 나갑니다. 곱셈은 말 그대로 선행 조건입니다. 이 방법의 모든 단계가 곱을 빼는 일이라, 아직 그것을 하나씩 따져 보는 학습자라면 곱셈 학습이 먼저입니다.
주판으로 어떻게 나누나요?
나누어지는 수는 일의 자리 숫자가 맨 오른쪽 축에 오도록 오른쪽에 놓고, 나누는 수는 사이에 빈 축을 두고 멀리 왼쪽에 놓으세요. 나누어지는 수의 앞부분을 보고 나누는 수가 몇 번 들어가는지 헤아린 다음, 그 숫자를 방금 나눈 숫자에서 두 축 왼쪽에 적습니다. 그것을 나누는 수와 다시 곱해 그 결과를 나누어지는 수에서 한 자리씩 뺍니다. 그런 다음 한 축 오른쪽으로 옮겨 같은 일을 반복합니다. 나누어지는 수의 영역이 비면 판 가운데가 곧 답입니다.
하나가 아니라 두 축이라는 점이 기억해 둘 대목입니다. 한 자리 나누는 수도 나누어지는 수의 자릿수만큼 긴 답을 만들 수 있어서, 간격이 한 축뿐이면 답이 나누어지는 수가 아직 앉아 있는 축을 필요로 하게 됩니다. 둘은 절대 부딪히지 않는 가장 작은 간격입니다. 수의 끝이 아니라 지금 나누고 있는 숫자에서 세면, 세 자리 이상의 나누어지는 수에서도 계속 들어맞습니다.
직접 알을 움직여 보세요
지금 주판은 96을 나타내고 있습니다.
수업 전체를 글로 정리했습니다
1막 — 주판에는 위가 없다
나누어지는 수는 오른쪽에 앉습니다. 96을 일의 자리 숫자가 맨 오른쪽 축에 오도록 놓으세요. 십의 자리 축에 9, 일의 자리 축에 6입니다. 이 영역은 문제에서 깎여 나가는 부분입니다. 방법이 끝나면 0이 되거나 나머지를 담고 있습니다. 96 ÷ 3
나누는 수는 멀리 왼쪽에 앉습니다. 3을 맨 왼쪽 축에, 나누어지는 수와의 사이에 축을 넉넉히 남기고 놓으세요. 이제 판은 300096으로 읽히지만 그 수는 계산으로는 아무 의미가 없습니다. 한 줄의 알을 나눠 쓰는 세 가지 별개의 것이니까요. 전체가 아니라 영역을 읽으세요. 96 ÷ 3
사이의 축들은 답이 놓이기를 기다리는 자리입니다. 나누는 수와 나누어지는 수 사이의 빈 축은 여유분이 아닙니다. 답이 한 자리씩 적히는 곳입니다. 여기서 빛나는 축은 답의 일의 자리 숫자가 내려앉을 자리, 곧 나누어지는 수의 일의 자리 축에서 두 축 왼쪽이며, 언제나 둘입니다. 96 ÷ 3
완성된 판을, 얻어내기 전에 미리 봅니다. 방법을 끝까지 마친 96 ÷ 3입니다. 나누는 수 3은 여전히 왼쪽에, 나누어지는 수 영역은 00으로 비었고, 가운데에 32가 서 있습니다. 답의 일의 자리 숫자인 2는 빛나는 축에 있으며, 6이 앉아 있던 축에서 정확히 두 축 왼쪽입니다. 96 ÷ 3 = 32
왜 한 축이 아니라 두 축인가. 지금 빛나는 축은 나누어지는 수의 십의 자리 축이고, 방법이 진행되는 대부분 동안 쓰이고 있었습니다. 한 자리 수로 나누어도 나누어지는 수의 자릿수만큼 긴 답이 나올 수 있어서, 간격이 한 축뿐이면 나누어지는 수가 아직 그 축에 있는 동안 답이 그 축을 필요로 하게 됩니다. 둘은 절대 부딪히지 않는 가장 작은 간격입니다. 이 판과 앞의 판 사이에 움직인 알은 없습니다. 가리키는 축만 달라졌습니다. 96 ÷ 3 = 32
2막 — 두 번 풀어 보기: 딱 떨어지는 경우, 그다음 고쳐 가는 경우
문제를 놓습니다. 제수 3은 맨 왼쪽에, 피제수 96은 오른쪽에 두되 일의 자리 숫자를 일의 자리 기둥에 맞추고, 그 사이 기둥은 비워 둡니다. 주판 아래 표시줄은 이것을 쉼표 없이 300096으로 읽어 줍니다. 알을 있는 그대로 더한 정직한 값일 뿐, 이 방법이 실제로 쓰는 수는 아닙니다. 96 ÷ 3 = 32
맨 앞 숫자를 나눠 두 기둥 왼쪽에 적습니다. 9는 피제수의 십의 자리 기둥에 서 있습니다. 9 안에 3이 세 번 들어가므로 숫자는 3이고, 그 9에서 왼쪽으로 두 기둥 떨어진 자리에 놓습니다. 그 기둥에서 아랫알 세 개가 올라갑니다. 피제수는 아직 그대로입니다. 숫자를 선언했을 뿐, 아직 값을 치르지 않았습니다. 9 ÷ 3 = 3
이제 값을 치릅니다. 방금 적은 숫자의 값은 3 × 3 = 9이고, 그 9는 방금 나눈 기둥에서 빼냅니다. 윗알을 올리고 아랫알 네 개를 내리면 피제수의 십의 자리 기둥은 0이 됩니다. 이 동작에 필요한 알이 모두 이미 필요한 쪽에 있으므로 보수는 쓰지 않습니다. 다음 단계를 정당하게 만들어 주는 단계입니다. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
한 기둥 오른쪽으로 옮겨 같은 일을 반복합니다. 피제수에 남은 것은 일의 자리 기둥에 서 있는 6입니다. 6 안에 3이 두 번 들어가므로 그 6에서 왼쪽으로 두 기둥 떨어진 자리에 2를 적습니다. 조금 전에 적은 3의 바로 오른쪽 옆자리입니다. 답은 읽는 순서 그대로, 한 기둥씩 왼쪽에서 오른쪽으로 쌓여 갑니다. 6 ÷ 3 = 2
이번에도 값을 치릅니다. 2 × 3 = 6을 일의 자리 기둥에서 뺍니다. 윗알을 올리고 아랫알 한 개를 내리면 그 기둥은 0이 됩니다. 피제수 영역이 텅 비었고, 주판에서 나누어떨어짐은 바로 이런 모습입니다. 2 × 3 = 6, 6 − 6 = 0
가운데를 읽습니다. 피제수 영역은 00이므로 남은 것이 없습니다. 몫 영역은 3, 그다음 2이므로 답은 32이고 32 × 3 = 96입니다. 답의 일의 자리는 원래 피제수의 일의 자리가 있던 곳에서 왼쪽으로 두 기둥 떨어진 기둥에 있습니다. 1막에서 약속한 그대로입니다. 96 ÷ 3 = 32
같은 배치, 더 어려운 문제. 제수 6은 맨 왼쪽에, 피제수 42는 오른쪽에 놓습니다. 계산 자체는 쉽습니다. 42 ÷ 6 = 7은 주판이 앞에 없어도 대부분 바로 말합니다. 어려움은 오직 그 7을 어느 기둥에 놓느냐에 있습니다. 그래서 이 페이지에서 유일하게, 끌리는 선택이 왜 틀리는지를 직접 보여 주는 장입니다. 42 ÷ 6 = ?
이 주판은 일부러 틀리게 놓았습니다. 앞 예제가 시작했던 방식대로, 7을 몫의 첫 기둥에 놓았습니다. 그런데 그 기둥은 답의 십의 자리이므로, 주판은 지금 70이라고 말하고 있습니다. 그리고 70 × 6 = 420이지 42가 아닙니다. 이 그림의 모든 기둥은 주판 숫자로 멀쩡하고, 뒤에 있는 계산도 맞았는데, 답만 열 배 어긋났습니다. 이 방법의 유일한 진짜 위험입니다. 70 × 6 = 420, not 42
되돌리고, 질문을 제대로 던집니다. 무엇이든 적기 전에, 지금 나누고 있는 숫자를 봅니다. 4 안에는 6이 들어가지 않으므로 이 답에는 십의 자리 자체가 없고, 그 기둥은 비워 둡니다. 7을 다시 내리면 주판은 처음 상태로 돌아갑니다. 6 > 4
나눌 덩어리는 42이고, 그 아랫자리는 일의 자리 기둥입니다. 4 안에 6이 들어가지 않았으므로 나누는 대상은 42 전체이고, 그 아랫자리는 일의 자리 기둥에 서 있습니다. 7이 놓일 곳은 거기서 왼쪽으로 두 기둥 떨어진 자리입니다. 윗알을 내리고 아랫알 두 개를 올립니다. 규칙이 바뀐 것이 아니라, 규칙을 적용한 숫자가 바뀐 것입니다. 42 ÷ 6 = 7
값을 치릅니다. 십의 자리부터. 7 × 6 = 42이고, 그 42를 피제수에서 한 자리씩 빼냅니다. 피제수의 십의 자리 기둥에서 아랫알 네 개를 내리면 그 기둥은 0이 됩니다. 7 × 6 = 42, 4 − 4 = 0
다음은 일의 자리. 일의 자리 기둥에서 아랫알 두 개를 내리면 이 기둥도 0이 됩니다. 피제수 영역이 비었으니 이번 문제도 나누어떨어졌습니다. 7 × 6 = 42, 2 − 2 = 0
다시 가운데를 읽습니다. 몫 영역은 0, 그다음 7이므로 답은 7입니다. 그리고 그 7은 앞 장에서 32의 2가 내려앉았던 바로 그 기둥에 서 있습니다. 한 자리 답과 두 자리 답이 일의 자리를 똑같은 기둥에 놓는 이유는, 그 기둥이 답의 크기가 아니라 피제수에 의해 정해지기 때문입니다. 42 ÷ 6 = 7
3막 — 직접 해보기
답의 첫 자리를 적습니다. 주판은 준비되었습니다. 왼쪽에 3, 오른쪽에 96, 알은 움직입니다. 9 나누기 3은 3이니 그 3을 9에서 왼쪽으로 두 기둥 떨어진 자리에 놓으세요. 채점은 주판 전체를 보고 하므로, 같은 숫자라도 기둥이 하나 어긋나면 다른 수가 되어 통과하지 못합니다. 여기서 시험하는 것은 계산이 아니라 기둥입니다. 9 ÷ 3 = 3, two rods left of the 9
이제 치른 값을 지웁니다. 지금 주판은 303096입니다. 피제수의 십의 자리 기둥에서 3 × 3 = 9를 빼서 주판이 303006이 되게 하세요. 윗알을 올리고 아랫알 네 개를 내립니다. 도중에 엉뚱한 곳을 지나가도 그냥 두고 계속하세요. 채점은 알이 멈춘 자리만 봅니다. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
한 기둥 오른쪽, 그리고 다시 적기. 피제수에 남은 것은 일의 자리 기둥의 6입니다. 6 나누기 3은 2이니, 그 6에서 왼쪽으로 두 기둥 떨어진 자리에 적으세요. 조금 전에 적은 3의 바로 오른쪽 옆자리입니다. 답은 한 기둥씩 왼쪽에서 오른쪽으로 쌓입니다. 6 ÷ 3 = 2, two rods left of the 6
피제수의 마지막을 지웁니다. 일의 자리 기둥에서 2 × 3 = 6을 빼서 주판이 303200이 되게 하세요. 피제수 영역이 비고, 주판 가운데는 32를 가리키며, 나눗셈이 끝났습니다. 2 × 3 = 6, 96 ÷ 3 = 32
숫자는 쉽습니다. 시험은 기둥입니다. 제수 6, 피제수 42, 답이 7이라는 것은 이미 알고 있습니다. 4 안에 6이 들어가지 않으므로 십의 자리는 없습니다. 7은 피제수의 일의 자리 기둥에서 왼쪽으로 두 기둥 떨어진 자리에 놓입니다. 한 기둥 더 왼쪽에 놓으면 주판은 칠십이라고 말하게 되고, 이 단계는 그것을 받아 주지 않습니다. 이 페이지 전체가 말하려는 것이 바로 이것입니다. 42 ÷ 6 = 7, two rods left of the units rod
곱을 빼고 답을 읽습니다. 7 × 6 = 42입니다. 피제수의 십의 자리 기둥에서 4를, 일의 자리 기둥에서 2를 빼서 주판이 600700이 되게 하세요. 피제수 영역이 비고, 가운데는 7을 가리키며, 7 × 6 = 42입니다. 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7
일곱 기둥, 목표 없음. 지금까지 배운 어떤 주판보다 기둥이 하나 넓어서 세 자리 피제수도 들어갑니다. 예를 들어 맨 왼쪽에 3을 세우고 837을 놓아 끝까지 풀어 보세요. 답은 피제수가 이미 비워 놓은 기둥으로 오른쪽으로 행진해 들어가고, 두 기둥 간격은 그대로 유지됩니다. 그 간격은 빈칸이 아니라 지금 나누고 있는 숫자에서 재기 때문입니다. 여기서는 아무것도 채점하지 않습니다.
다음은 어디로
같은 기법, 서로 다른 네 가지 쓰임입니다. 이 페이지는 단계별 학습이었고, 아래는 나머지입니다. 어느 것도 이 페이지를 대신하지는 않습니다.
다른 단계별 학습
다섯 가지 기술, 하나의 사다리. 각각은 직접 움직일 알이 있는 별도의 학습이며, 배우는 사람이 만나게 되는 순서대로 실었습니다.