Quatre-vingt-seize sur le cadre, divisé par trois. Rien ici n’est difficile à déplacer. Ce qui manque, c’est un endroit où mettre la réponse. Sur le papier, le quotient s’écrit au-dessus du dividende, et un soroban n’a pas de dessus — il a une gauche. Alors avant toute arithmétique, la division a besoin d’une règle pour savoir quelle tige, et cette règle est ce qu’est cette page. 96 ÷ 3 = ?
Parcours guidé interactif · de Supérieur B au Niveau Maître
La division au boulier : sur quelle tige va la réponse
Posez le dividende à droite du cadre, son chiffre des unités sur la tige la plus à droite, et garez le diviseur loin à gauche. Divisez le chiffre sur lequel vous travaillez, écrivez le résultat deux tiges à sa gauche, puis soustrayez du dividende ce que ce chiffre a coûté et décalez-vous d’une tige vers la droite. Le chiffre des unités de la réponse tombe toujours deux tiges à gauche du chiffre des unités du dividende — ce décalage est la technique. Neuf chapitres, vingt-six étapes, et le dernier tiers vous tend les perles.
Ce que cette page vous demande
Ce n’est ni une fiche d’exercices ni un article. Chaque chapitre est le cadre d’un vrai boulier avec une explication à côté, et le dernier tiers vous tend les perles. Un avertissement sur la lecture sous le cadre : elle annonce toute la rangée de perles comme un seul nombre, si bien qu’un cadre mis en place se lit 300096, sans séparateurs. Ce nombre est vrai des perles et ne veut rien dire comme arithmétique — le cadre est trois zones qui partagent une même rangée, et le texte à côté de chaque étape continue de nommer laquelle est laquelle.
La division est la dernière technique de l’échelle. Un apprenant la rencontre à la fin de Supérieur B, une fois la multiplication à plusieurs chiffres bien assise, et la travaille tout au long du Niveau Maître, le neuvième barreau. La multiplication est le prérequis littéral : chaque étape de cette méthode soustrait un produit, et qui les cherche encore appartient d’abord à ce parcours-là.
Comment diviser au boulier ?
Posez le dividende à droite, son chiffre des unités sur la tige la plus à droite, et le diviseur loin à gauche, avec des tiges vides entre eux. Regardez la tête du dividende, cherchez combien de fois le diviseur y entre, et écrivez ce chiffre deux tiges à gauche du chiffre que vous avez divisé. Multipliez-le par le diviseur et soustrayez le résultat du dividende, chiffre par chiffre. Puis décalez-vous d’une tige vers la droite et recommencez. Quand la zone du dividende est vide, le milieu du cadre est la réponse.
Deux tiges, pas une : c’est la partie à retenir. Un diviseur à un chiffre peut produire une réponse avec autant de chiffres que le dividende, si bien qu’avec une seule tige d’écart la réponse voudrait une tige où le dividende est encore posé. Deux est le plus petit décalage qui ne provoque jamais de collision. Mesurez-le depuis le chiffre que vous divisez plutôt que depuis le bord du nombre, et il continue de tenir pour les dividendes à trois chiffres et au-delà.
Déplacez les perles vous-même
Le cadre affiche 96.
Toute la leçon, mise par écrit
Acte I — un soroban n’a pas de dessus
Le dividende siège à droite. Posez 96 avec son chiffre des unités sur la tige la plus à droite : 9 sur la tige des dizaines, 6 sur celle des unités. Cette zone est la partie du problème qui se fait manger. À la fin de la méthode, elle affiche zéro, ou elle tient le reste. 96 ÷ 3
Le diviseur siège loin à gauche. Mettez le 3 sur la tige la plus à gauche, avec des tiges d’avance entre lui et le dividende. Le cadre se lit maintenant 300096, et ce nombre ne veut rien dire comme arithmétique — c’est trois choses séparées qui partagent une même rangée de perles. Lisez les zones, jamais le total. 96 ÷ 3
Les tiges entre les deux sont la réponse, en attente. Les tiges vides entre diviseur et dividende ne sont pas du mou. C’est là que la réponse s’écrit, un chiffre à la fois. La tige qui s’illumine ici est celle où atterrira son chiffre des unités — deux tiges à gauche de la tige des unités du dividende, et c’est toujours deux. 96 ÷ 3
Le cadre terminé, montré avant d’être mérité. Voici 96 ÷ 3 avec la méthode achevée : le diviseur 3 toujours à gauche, la zone du dividende vidée à 00, et 32 debout au milieu. Le 2 — le chiffre des unités de la réponse — est sur la tige illuminée, exactement deux tiges à gauche de la tige où le 6 était posé. 96 ÷ 3 = 32
Pourquoi deux tiges et pas une. La tige qui s’illumine maintenant est la tige des dizaines du dividende, et elle a servi pendant presque toute la méthode. Diviser par un seul chiffre peut produire une réponse avec autant de chiffres que le dividende, si bien qu’avec une seule tige d’écart la réponse aurait besoin de cette tige pendant que le dividende y était encore. Deux est le plus petit écart qui ne provoque jamais de collision. Aucune perle n’a bougé entre ce cadre et le précédent — seul l’endroit que l’on pointe a changé. 96 ÷ 3 = 32
Acte II — travaillée deux fois : exacte, puis corrigée
Posez le problème. Diviseur 3 tout à gauche, dividende 96 à droite avec son chiffre des unités sur la tige des unités, et des tiges vides entre les deux. La ligne sous le cadre appellera cela 300096, d’une seule traite, sans ponctuation ; c’est le total honnête des perles, et ce n’est pas un nombre que cette méthode utilise jamais. 96 ÷ 3 = 32
Divisez le chiffre de tête, écrivez le résultat deux tiges à gauche. Le 9 est posé sur la tige des dizaines du dividende. Trois entre trois fois dans neuf, donc le chiffre est 3 et il va deux tiges à gauche de ce 9. Trois perles de terre y montent. Rien n’a encore changé dans le dividende — le chiffre a été revendiqué, pas payé. 9 ÷ 3 = 3
Maintenant, payez-le. Le chiffre que vous venez d’écrire coûte 3 × 3 = 9, et cela sort de la tige que vous avez divisée. Perle du ciel vers le haut et quatre perles de terre vers le bas, et la tige des dizaines du dividende affiche 0. Chaque perle dont ce geste a besoin est déjà du côté qu’il faut, donc aucun complément n’entre en jeu. C’est l’étape qui rend légitime la suivante. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
Décalez-vous d’une tige à droite et recommencez. Ce qui reste du dividende est 6, posé sur la tige des unités. Trois entre deux fois dans six, donc un 2 s’écrit deux tiges à sa gauche — immédiatement à droite du 3 de tout à l’heure. La réponse se construit de gauche à droite, une tige à la fois, dans l’ordre où elle se lit. 6 ÷ 3 = 2
Payez celui-là aussi. 2 × 3 = 6 sort de la tige des unités : perle du ciel vers le haut, une perle de terre vers le bas, et la tige affiche 0. La zone du dividende est vide — voilà à quoi ressemble une division exacte sur un soroban. 2 × 3 = 6, 6 − 6 = 0
Lisez le milieu. La zone du dividende affiche 00, donc rien n’est dû. La zone du quotient affiche 3 puis 2, donc la réponse est 32, et 32 × 3 = 96. Son chiffre des unités est sur la tige deux à gauche de là où était le chiffre des unités du dividende, exactement comme l’Acte I l’avait promis. 96 ÷ 3 = 32
Même mise en place, question plus dure. Diviseur 6 tout à gauche, dividende 42 à droite. L’arithmétique est facile — la plupart des gens savent dire 42 ÷ 6 = 7 sans cadre devant eux. Toute la difficulté est de savoir sur quelle tige va ce 7, alors voici le seul chapitre de la page où le geste tentant est montré en train d’avoir tort. 42 ÷ 6 = ?
Ce cadre est une erreur, exprès. Voici le 7 lâché sur la première tige du quotient, comme le dernier exemple avait commencé. Mais cette tige est la tige des dizaines de la réponse, si bien que le cadre prétend maintenant 70 — et 70 × 6 = 420, pas 42. Chaque tige de cette image est un chiffre de soroban légal, l’arithmétique derrière était juste, et la réponse est fausse d’un facteur dix. C’est le seul vrai danger de cette méthode. 70 × 6 = 420, not 42
Reprenez-le, et posez la question comme il faut. Avant d’écrire quoi que ce soit, regardez le chiffre que vous divisez. Six n’entre pas dans quatre, donc cette réponse n’a pas de chiffre des dizaines du tout et cette tige reste vide. Redescendez le 7 et le cadre est comme avant. 6 > 4
Le morceau est 42, et son chiffre bas est sur la tige des unités. Parce que 6 n’entrait pas dans 4, la partie divisée est le 42 tout entier, dont le chiffre bas est posé sur la tige des unités. Deux tiges à gauche de celle-ci, voilà où le 7 appartient : perle du ciel descendue, deux perles de terre levées. La règle n’a pas changé — le chiffre auquel elle s’applique, si. 42 ÷ 6 = 7
Payez-le, les dizaines d’abord. 7 × 6 = 42, et ce 42 sort du dividende chiffre par chiffre. Quatre perles de terre redescendent sur la tige des dizaines du dividende et elle affiche 0. 7 × 6 = 42, 4 − 4 = 0
Puis les unités. Deux perles de terre redescendent sur la tige des unités et elle affiche 0 aussi. La zone du dividende est nette, donc celle-là aussi est tombée juste. 7 × 6 = 42, 2 − 2 = 0
Relisez le milieu. La zone du quotient affiche 0 puis 7, donc la réponse est 7 — et il se tient sur la même tige où le 2 de 32 avait atterri au chapitre précédent. Une réponse à un chiffre et une réponse à deux chiffres posent leur chiffre des unités exactement sur la même tige, parce que cette tige est fixée par le dividende et non par la taille que la réponse se trouve avoir. 42 ÷ 6 = 7
Acte III — à vous de jouer
Écrivez le premier chiffre de la réponse. Le cadre est en place — 3 à gauche, 96 à droite — et les perles répondent. Neuf divisé par trois font trois ; posez ce 3 deux tiges à gauche du 9. L’étape est jugée sur le cadre entier : le même chiffre une tige à côté est un autre nombre et ne passera pas. C’est la tige qui est le test ici, pas l’arithmétique. 9 ÷ 3 = 3, two rods left of the 9
Maintenant, effacez ce qu’il a coûté. Le cadre affiche 303096. Retirez 3 × 3 = 9 de la tige des dizaines du dividende pour que le cadre affiche 303006 — perle du ciel vers le haut, quatre perles de terre vers le bas. Si les perles atterrissent quelque part d’inattendu en chemin, laissez-les et continuez ; seul l’endroit où elles s’arrêtent est jugé. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
Une tige à droite, et écrivez encore. Ce qui reste du dividende est 6, sur la tige des unités. Six divisé par trois font deux — écrivez-le deux tiges à gauche de ce 6, ce qui le pose immédiatement à droite du 3 que vous venez d’écrire. La réponse se construit de gauche à droite, une tige à la fois. 6 ÷ 3 = 2, two rods left of the 6
Effacez le reste du dividende. Retirez 2 × 3 = 6 de la tige des unités pour que le cadre affiche 303200. La zone du dividende est vide, le milieu du cadre affiche 32, et la division est terminée. 2 × 3 = 6, 96 ÷ 3 = 32
Le chiffre est facile. La tige est le test. Diviseur 6, dividende 42, et vous savez déjà que la réponse est 7. Six n’entre pas dans 4, donc il n’y a pas de chiffre des dizaines : le 7 appartient deux tiges à gauche de la tige des unités du dividende. Posez-le une tige plus loin à gauche et le cadre prétend soixante-dix — l’étape ne l’acceptera pas, et c’est toute la leçon de cette page. 42 ÷ 6 = 7, two rods left of the units rod
Soustrayez le produit et lisez la réponse. 7 × 6 = 42. Retirez quatre de la tige des dizaines du dividende et deux de la tige des unités pour que le cadre affiche 600700. La zone du dividende est vide, le milieu affiche 7, et 7 × 6 = 42. 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7
Sept tiges, pas de cible. Une tige de plus que tous les cadres enseignés, pour qu’un dividende à trois chiffres tienne. Posez-en un — 837 avec un 3 garé tout à gauche, par exemple — et menez-le au bout : la réponse avance vers la droite, sur des tiges que le dividende a déjà vidées, et le décalage de deux tiges tient toujours, parce qu’il se mesure depuis le chiffre divisé et non depuis un écart. Rien ici n’est noté.
Où aller ensuite
Même technique, quatre travaux différents. Cette page était le parcours guidé ; voici les autres, et aucune ne le remplace.
S’entraîner à la division au soroban — séries de problèmes, exemples et fiches à imprimerLire comment marche le calcul mental au boulier — les quatre opérations, en proseFaire la visite complète de l’instrument — les parties, la valeur de position, la lecture des perlesUn barreau plus bas : la multiplication au boulier — chaque étape d’ici soustrait un produit
Les autres parcours guidés
Cinq techniques, une seule échelle. Chacune a son propre parcours guidé avec ses propres perles à déplacer, et elles sont listées ici dans l’ordre où un apprenant les rencontre.
Compter jusqu’à 99Fondation · 19 chapitres · 43 étapesPetits amis (compléments à 5)Élémentaire A · 9 chapitres · 22 étapesGrands amis (compléments à 10)Élémentaire B · 9 chapitres · 26 étapesBoulier mental (anzan)Intermédiaire B · 9 chapitres · 24 étapesMultiplication au boulierSupérieur A · 9 chapitres · 22 étapes