Noranta-sis al marc, dividit per tres. Aquí no hi ha res difícil de moure. El que falta és un lloc on posar la resposta. En paper, el quocient s’escriu a sobre del dividend, i un soroban no té «a sobre»: té l’esquerra. Així doncs, abans de cap càlcul, la divisió necessita una regla que digui quina vareta, i aquesta regla és el que explica aquesta pàgina. 96 ÷ 3 = ?
Guia interactiva · de Superior B a Nivell mestre
Divisió amb àbac: a quina vareta va la resposta
Posa el dividend a la dreta del marc amb la xifra de les unitats a la vareta de més a la dreta, i deixa el divisor ben a l’esquerra. Divideix la xifra amb què treballes, escriu el resultat dues varetes a la seva esquerra, després resta del dividend el que costa aquesta xifra i avança una vareta cap a la dreta. La xifra de les unitats de la resposta sempre cau dues varetes a l’esquerra de la xifra de les unitats del dividend: aquest desplaçament és la tècnica. Nou capítols, vint-i-sis passos, i l’últim terç et passa les boles.
Què et demana aquesta pàgina
Això no és una fitxa d’exercicis ni un article. Cada capítol és un marc d’un àbac real amb una explicació al costat, i l’últim terç et passa les boles. Un avís sobre la lectura de sota del marc: anuncia tota la fila de boles com un sol nombre, de manera que un marc a punt per començar mostra 300096, sense separadors. Aquest nombre és cert pel que fa a les boles i no té cap sentit com a aritmètica: el marc són tres zones que comparteixen una fila, i el text de cada pas va dient quina és quina.
La divisió és l’última tècnica de l’escala. L’alumne la troba al final de Superior B, quan la multiplicació de diverses xifres ja és sòlida, i la continua treballant al Nivell mestre, el novè graó. La multiplicació n’és el requisit literal: cada pas d’aquest mètode resta un producte, així que qui encara els ha de calcular ha de fer primer aquella guia interactiva.
Com es divideix amb un soroban?
Posa el dividend a la dreta amb la xifra de les unitats a la vareta de més a la dreta, i el divisor ben a l’esquerra, amb varetes buides entre tots dos. Mira la part inicial del dividend, calcula quantes vegades hi cap el divisor i escriu aquesta xifra dues varetes a l’esquerra de la xifra que has dividit. Torna-la a multiplicar pel divisor i resta el resultat del dividend, xifra a xifra. Després avança una vareta cap a la dreta i torna a fer el mateix. Quan la zona del dividend queda buida, el centre del marc és la resposta.
Dues varetes, no una: això és el que val la pena recordar. Un divisor d’una xifra pot donar una resposta amb tantes xifres com el dividend, de manera que amb una sola vareta de separació la resposta voldria una vareta on encara hi ha el dividend. Dues és el desplaçament més petit que no topa mai. Compta’l des de la xifra que divideixes i no des de la vora del nombre, i continua funcionant amb dividends de tres xifres o més.
Mou les boles amb la teva mà
El marc mostra 96.
Tota la lliçó, per escrit
Acte I: un soroban no té «a sobre»
El dividend va a la dreta. Posa 96 amb la xifra de les unitats a la vareta de més a la dreta: el 9 a la vareta de les desenes, el 6 a la de les unitats. Aquesta zona és la part de l’operació que es va consumint. Al final del mètode mostra zero, o hi queda el residu. 96 ÷ 3
El divisor va ben a l’esquerra. Posa el 3 a la vareta de més a l’esquerra, amb varetes de sobra entre aquest i el dividend. Ara el marc mostra 300096, i aquest nombre no vol dir res com a aritmètica: són tres coses separades que comparteixen una fila de boles. Llegeix les zones, mai el total. 96 ÷ 3
Les varetes del mig són la resposta, que espera. Les varetes buides entre el divisor i el dividend no són espai sobrant. És on s’escriu la resposta, xifra a xifra. La vareta que brilla aquí és on caurà la xifra de les unitats: dues varetes a l’esquerra de la vareta de les unitats del dividend, i sempre són dues. 96 ÷ 3
El marc acabat, abans de guanyar-se’l. Això és 96 ÷ 3 amb el mètode complet: el divisor 3 encara a l’esquerra, la zona del dividend buidada fins a 00 i el 32 al mig. El 2 (la xifra de les unitats de la resposta) és a la vareta que brilla, exactament dues varetes a l’esquerra de la vareta on era el 6. 96 ÷ 3 = 32
Per què dues varetes i no una. La vareta que brilla ara és la de les desenes del dividend, i ha estat ocupada durant gairebé tot el mètode. Dividir per una sola xifra pot donar una resposta amb tantes xifres com el dividend, de manera que amb només una vareta de separació la resposta necessitaria aquesta vareta quan el dividend encara hi era. Dues és la separació més petita que no topa mai. Entre aquest marc i l’anterior no s’ha mogut cap bola: només ha canviat la vareta assenyalada. 96 ÷ 3 = 32
Acte II: dos exemples resolts, un d’exacte i un de corregit
Planteja l’operació. El divisor 3 ben a l’esquerra, el dividend 96 a la dreta amb la xifra de les unitats a la vareta de les unitats, i varetes buides entre tots dos. La línia de sota del marc ho anomenarà 300096, tot seguit i sense puntuació; és el total honest de les boles i no és un nombre que aquest mètode faci servir mai. 96 ÷ 3 = 32
Divideix la primera xifra i escriu el resultat dues varetes a l’esquerra. El 9 és a la vareta de les desenes del dividend. El tres cap tres vegades en el nou, així que la xifra és 3 i va dues varetes a l’esquerra d’aquest 9. Hi pugen tres boles de la terra. Al dividend encara no ha canviat res: la xifra s’ha reservat, però encara no s’ha pagat. 9 ÷ 3 = 3
Ara paga-la. La xifra que acabes d’escriure costa 3 × 3 = 9, i això es treu de la vareta que has dividit. La bola del cel amunt i quatre boles de la terra avall, i la vareta de les desenes del dividend mostra 0. Totes les boles que necessita aquest moviment ja són al costat on han de ser, així que no hi intervé cap complement. Aquest és el pas que fa legítim el següent. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
Avança una vareta cap a la dreta i torna-hi. El que queda del dividend és 6, a la vareta de les unitats. El tres cap dues vegades en el sis, així que s’escriu un 2 dues varetes a la seva esquerra, just a la dreta del 3 d’abans. La resposta es construeix d’esquerra a dreta, vareta a vareta, en l’ordre en què es llegeix. 6 ÷ 3 = 2
Paga també aquesta. 2 × 3 = 6 es treu de la vareta de les unitats: la bola del cel amunt, una bola de la terra avall, i la vareta mostra 0. La zona del dividend és buida, i aquest és l’aspecte que té una divisió exacta en un soroban. 2 × 3 = 6, 6 − 6 = 0
Llegeix el centre. La zona del dividend mostra 00, així que no queda res per pagar. La zona del quocient mostra 3 i després 2, així que la resposta és 32, i 32 × 3 = 96. La xifra de les unitats és dues varetes a l’esquerra d’on era la xifra de les unitats del dividend, tal com prometia l’acte I. 96 ÷ 3 = 32
El mateix plantejament, una pregunta més difícil. El divisor 6 ben a l’esquerra, el dividend 42 a la dreta. L’aritmètica és fàcil: gairebé tothom sap dir 42 ÷ 6 = 7 sense cap marc al davant. Tota la dificultat és a quina vareta va aquest 7, i per això aquest és l’únic capítol de la pàgina on es mostra com falla el moviment temptador. 42 ÷ 6 = ?
Aquest marc és un error, expressament. Aquí hi ha el 7 posat a la primera vareta del quocient, tal com començava l’exemple anterior. Però aquesta vareta és la de les desenes de la resposta, així que ara el marc diu 70, i 70 × 6 = 420, no 42. Cada vareta d’aquesta imatge és una xifra vàlida de soroban, l’aritmètica que hi ha al darrere era correcta i la resposta s’equivoca en un factor de deu. Aquest és l’únic perill real que té aquest mètode. 70 × 6 = 420, not 42
Desfés-ho i fes la pregunta com cal. Abans d’escriure res, mira la xifra que divideixes. El sis no cap en el quatre, així que aquesta resposta no té xifra de les desenes i aquella vareta es queda buida. Treu el 7 i el marc torna a estar com abans. 6 > 4
El tros és 42, i la seva xifra baixa és a la vareta de les unitats. Com que el 6 no cabia en el 4, la part que es divideix és tot el 42, que té la xifra baixa a la vareta de les unitats. Dues varetes a l’esquerra d’aquesta és on va el 7: la bola del cel avall, dues boles de la terra amunt. La regla no ha canviat: ha canviat la xifra a què s’aplicava. 42 ÷ 6 = 7
Paga-la, primer les desenes. 7 × 6 = 42, i aquest 42 es treu del dividend xifra a xifra. Baixen quatre boles de la terra a la vareta de les desenes del dividend i mostra 0. 7 × 6 = 42, 4 − 4 = 0
Després, les unitats. Baixen dues boles de la terra a la vareta de les unitats i també mostra 0. La zona del dividend és buida, així que aquesta també ha sortit exacta. 7 × 6 = 42, 2 − 2 = 0
Torna a llegir el centre. La zona del quocient mostra 0 i després 7, així que la resposta és 7, i és a la mateixa vareta on va caure el 2 de 32 al capítol anterior. Una resposta d’una xifra i una de dues xifres posen la xifra de les unitats exactament a la mateixa vareta, perquè aquesta vareta la fixa el dividend i no la mida de la resposta. 42 ÷ 6 = 7
Acte III: et toca
Escriu la primera xifra de la resposta. El marc ja està plantejat (el 3 a l’esquerra, el 96 a la dreta) i les boles ja es poden moure. Nou dividit per tres fa tres; posa aquest 3 dues varetes a l’esquerra del 9. El pas es puntua amb tot el marc, així que la mateixa xifra una vareta més enllà és un altre nombre i no passarà. Aquí la prova és la vareta, no l’aritmètica. 9 ÷ 3 = 3, two rods left of the 9
Ara treu el que ha costat. El marc mostra 303096. Treu 3 × 3 = 9 de la vareta de les desenes del dividend perquè el marc mostri 303006: la bola del cel amunt, quatre boles de la terra avall. Si pel camí passa per algun valor inesperat, deixa-ho estar i continua; només es valora on s’aturen les boles. 3 × 3 = 9, 9 − 9 = 0
Una vareta a la dreta, i torna a escriure. El que queda del dividend és el 6 de la vareta de les unitats. Sis dividit per tres fa dos: escriu-lo dues varetes a l’esquerra d’aquest 6, cosa que el deixa just a la dreta del 3 que has escrit fa un moment. La resposta es construeix d’esquerra a dreta, vareta a vareta. 6 ÷ 3 = 2, two rods left of the 6
Buida el que queda del dividend. Treu 2 × 3 = 6 de la vareta de les unitats perquè el marc mostri 303200. La zona del dividend és buida, el centre del marc mostra 32 i la divisió s’ha acabat. 2 × 3 = 6, 96 ÷ 3 = 32
La xifra és fàcil. La prova és la vareta. Divisor 6, dividend 42, i ja saps que la resposta és 7. El sis no cap en el 4, així que no hi ha xifra de les desenes: el 7 va dues varetes a l’esquerra de la vareta de les unitats del dividend. Si el poses una vareta més a l’esquerra, el marc diu setanta; el pas no l’acceptarà, i aquesta és tota la lliçó d’aquesta pàgina. 42 ÷ 6 = 7, two rods left of the units rod
Resta el producte i llegeix la resposta. 7 × 6 = 42. Treu-ne quatre de la vareta de les desenes del dividend i dos de la vareta de les unitats perquè el marc mostri 600700. La zona del dividend és buida, el centre mostra 7, i 7 × 6 = 42. 7 × 6 = 42, 42 ÷ 6 = 7
Set varetes, cap objectiu. Té una vareta més que tots els marcs de les lliçons, perquè hi càpiga un dividend de tres xifres. Posa’n un (per exemple, 837 amb un 3 ben a l’esquerra) i resol-lo: la resposta avança cap a la dreta per varetes que el dividend ja ha buidat, i el desplaçament de dues varetes continua funcionant, perquè es compta des de la xifra que es divideix i no des d’un espai buit. Aquí no es puntua res.
On pots anar ara
La mateixa tècnica, quatre feines diferents. Aquesta pàgina era la guia interactiva; aquestes són les altres, i cap no la substitueix.
Practica la divisió amb soroban: sèries d’operacions, exemples i fitxes per imprimirLlegeix com funciona l’aritmètica mental amb àbac: les quatre operacions, explicades pas a pasFes la visita completa a l’instrument: parts, valor posicional i lectura de les bolesUn graó enrere: la multiplicació amb àbac, perquè cada pas d’aquí resta un producte
Les altres guies interactives
Cinc tècniques, una escala. Cadascuna té la seva guia interactiva amb les seves boles per moure, i aquí apareixen en l’ordre en què les troba qui aprèn.