기둥의 4에 3을 곱합니다. 여기서 막힌 것은 없습니다. 기둥은 4를 나타내고 남는 알도 있으니, 기둥에 쓸 알이 떨어지는 보수 페이지의 벽과는 다릅니다. 문제는 4 × 3 = 12가 두 자리라는 것입니다. 그러니 답 전체가 4가 앉아 있는 기둥에 머물 수는 없는데, 나머지가 어디로 가는지는 어떤 덧셈 규칙도 말해 주지 않습니다. 곱셈은 바로 그 하나의 물음에 답합니다. 4 × 3 = ?
인터랙티브 학습 · 고급 A
주판 곱셈: 부분곱이 어느 기둥에 놓이는가
오른쪽부터 기둥에 번호를 붙입니다. 일의 자리가 0, 십의 자리가 1, 백의 자리가 2입니다. i번 기둥에 선 숫자와 j번 기둥에 선 숫자를 곱하면 답은 i + j번 기둥에 놓입니다. 일의 자리 숫자는 그 기둥에, 십의 자리 숫자는 한 기둥 더 왼쪽에 놓입니다. 이 규칙 하나가 주판 곱셈의 전부입니다. 이 학습은 그것을 네 장의 그림으로 그리고, 세 문제로 풀어 보인 뒤, 알을 여러분에게 넘깁니다. 9개 장, 22단계, 시간 제한은 없습니다.
이 페이지가 요구하는 것
연습지도 아니고 읽을거리도 아닙니다. 장마다 실제 주판의 판 하나와 그 옆의 설명이 있고, 마지막 3분의 1에서는 알을 직접 넘겨줍니다. 안내판이 수를 말하면 여러분이 알을 움직이고, 판이 그 수를 나타내는지 알려 줍니다. 풀이 문제는 하나가 아니라 두 단계로 채점되므로, 이미 알고 있는 답을 한 번에 놓으면 앞 절반에서 걸립니다. 이렇게 나누는 것이 곱의 두 숫자가 서로 다른 두 기둥으로 간다는 사실을 보여 줍니다.
곱셈은 9단계 과정의 일곱 번째인 고급 A의 핵심입니다. 10의 보수가 아직 몸에 배지 않았다면 큰 친구 학습을 먼저 하세요. 부분곱은 이미 숫자가 놓인 기둥에 내려앉는 일이 흔하고, 그때 이어지는 처리는 새로운 무엇이 아니라 자리올림입니다.
주판으로 어떻게 곱하나요?
기둥마다 자리 번호를 붙이세요. 일의 자리 기둥이 0, 십의 자리가 1, 백의 자리가 2, 이런 식입니다. 첫 번째 수의 각 숫자와 두 번째 수의 각 숫자를 곱한 다음, 두 자리 번호를 i와 j라 할 때 그 결과를 판의 i + j번 기둥에 더합니다. 한 자리끼리의 곱은 많아야 81이라 기둥 하나나 둘에 들어갑니다. 일의 자리 숫자는 i + j번 기둥에, 십의 자리 숫자는 바로 왼쪽 기둥에 놓입니다. 모든 짝을 다 놓고 나면 판이 곧 답입니다.
부분곱이 어디에 놓이는지는 두 숫자의 크기가 아니라 자리로 정해지며, 이 기법이 더하는 것은 그 하나뿐입니다. 기둥에 이미 있는 값 위에 더하는 일은 평범한 덧셈이고, 그 일은 작은 친구와 큰 친구가 그대로 해냅니다. 실제 주판에서는 곱하는 두 수를 판 왼쪽에 놓아 두지만, 여기 판들은 만들어지는 답만 담고 문제는 옆의 줄에 남겨 둡니다.
직접 알을 움직여 보세요
지금 주판은 4을 나타내고 있습니다.
수업 전체를 글로 정리했습니다
1막 — 답은 시작한 자리에 머물지 않는다
일의 자리 곱하기 일의 자리는 일의 자리 기둥에 놓입니다. 2는 0번 기둥에 서 있고 곱하는 수 3은 한 자리이니 두 자리 번호가 모두 0입니다. 더하면 0 + 0 = 0이고, 6은 0번 기둥에 갑니다. 아직 놀랄 것은 없습니다. 규칙이 여러분의 짐작과 일치하는 경우입니다. 2 × 3 = 6
숫자를 한 기둥 왼쪽으로 옮기면 답도 따라갑니다. 같은 숫자, 같은 곱 6인데 2가 이제 1번 기둥에 서 있습니다. 1 + 0 = 1이니 6은 1번 기둥에 가고 판은 60이 됩니다. 곱하는 수도 구구단도 그대로였습니다. 달라진 것은 곱해지는 수의 자리이고, 답이 그것을 따라 움직였습니다. 20 × 3 = 60
한 기둥 더 왼쪽으로, 다시 한 번. 이번에는 2가 2번 기둥에 있으니 2 + 0 = 2이고 6은 백의 자리 기둥에 앉습니다. 600입니다. 판 셋, 곱 하나, 서로 다른 기둥 셋. 답이 어디로 갈지 정한 것은 숫자가 아니라 자리였습니다. 200 × 3 = 600
두 자리 곱은 기둥 두 개를 씁니다. 8 곱하기 9는 72이고, 72를 보여 줄 수 있는 기둥은 없습니다. 일의 자리 숫자 2는 0 + 0 = 0번 기둥에 가고, 십의 자리 숫자 7은 한 기둥 더 왼쪽인 1번 기둥에 갑니다. 나머지 경우는 그것뿐입니다. 한 자리끼리의 곱은 9 × 9 = 81을 넘지 않으니 한 자리 아니면 두 자리이고, 두 자리라면 i + j번 기둥과 그 옆 기둥을 함께 씁니다. 8 × 9 = 72
2막 — 세 번 풀어 보기, 넘침은 마지막에
비운 판에서 시작합니다. 알은 만들어지는 답을 담고, 곱하는 두 수는 위의 줄에 그대로 있습니다. 7과 6 모두 0번 기둥에 선 한 자리 수이므로, 이 문제가 만들어 내는 모든 것은 0 + 0 = 0번 기둥에, 그리고 거기에 들어가지 않으면 1번 기둥에 속합니다. 7 × 6 = ?
먼저 십의 자리 숫자를 한 기둥 왼쪽에. 7 곱하기 6은 42입니다. 십의 자리 숫자는 4이고, 0 + 0 = 0번 기둥에서 한 기둥 왼쪽인 1번 기둥에 갑니다. 십의 자리 기둥에서 아랫알 네 개가 올라가고 판은 40이 됩니다. 높은 자리부터 — 주판의 모든 덧셈이 따르는 순서입니다. 0 + 40 = 40
그다음 일의 자리 숫자를 0번 기둥에. 42의 일의 자리 숫자는 2이고, 0 + 0 = 0번 기둥에 갑니다. 일의 자리 기둥에서 아랫알 두 개가 올라가고 판은 42가 됩니다. 두 입력이 모두 한 자리였던 문제에서 기둥 두 개를 썼습니다. 얼마인가와 어디인가가 별개의 물음이라는 가장 짧은 증명입니다. 40 + 2 = 42
두 자리라는 것은 부분곱이 둘이라는 뜻입니다. 3은 1번 기둥에, 4는 0번 기둥에 서 있고, 곱하는 수 2는 0번 기둥에 있습니다. 그러면 놓아야 할 짝이 (1, 0)과 (0, 0) 둘이고, 주판의 모든 덧셈이 따르는 순서대로 높은 자리부터 놓습니다. 그 순서를 지키는 것이 여기서 각 단계를 확인할 수 있게 해 주기도 합니다. 34 × 2 = ?
3 곱하기 2, 1번 기둥에 놓입니다. 3 × 2 = 6은 한 자리라 기둥 하나면 되고, 1 + 0 = 1이 그 기둥을 지정합니다. 십의 자리 기둥에서 윗알을 내리고 아랫알 하나를 올리면 판은 60이 됩니다. 30 × 2 = 60
4 곱하기 2, 0번 기둥에 놓입니다. 4 × 2 = 8도 한 자리이고, 0 + 0 = 0이 이를 일의 자리 기둥에 놓습니다. 윗알을 내리고 아랫알 세 개를 올리면 판은 68이 됩니다. 이 예에서는 겹친 것이 없습니다. 부분곱마다 자기 기둥을 하나씩 가졌으니 쉬운 경우입니다. 60 + 8 = 68
규칙이 정말로 필요한 예입니다. 2는 1번 기둥에, 7은 0번 기둥에, 곱하는 수 3은 0번 기둥에 있습니다. 두 부분곱 중 두 번째가 두 자리가 되어 기둥 두 개를 필요로 하는데, 그중 하나에는 이미 첫 번째 부분곱의 숫자가 놓여 있을 것입니다. 27 × 3 = ?
높은 자리부터: 2 곱하기 3. 2 × 3 = 6, 한 자리, 1 + 0 = 1번 기둥입니다. 판은 60이 됩니다. 여기까지는 앞의 예와 똑같습니다. 20 × 3 = 60
7 곱하기 3은 21 — 십의 자리 숫자부터, 비어 있지 않은 기둥에. 십의 자리 숫자 2는 0 + 0 + 1 = 1번 기둥에 속하는데, 그 기둥은 이미 6을 나타내고 있습니다. 거기에 더하세요. 남은 아랫알 세 개 중 두 개가 올라가 6이 8이 되고 판은 80이 됩니다. 그 2를 일의 자리 기둥에 떨어뜨리면 판은 결국 63이 됩니다. 알의 배열로는 아무 문제 없지만 그저 틀린 답이며, 이 페이지가 존재하는 이유인 실수입니다. 60 + 20 = 80
그다음 일의 자리 숫자. 일의 자리 숫자 1은 0 + 0 = 0번 기둥에 갑니다. 일의 자리 기둥에서 아랫알 하나가 올라가고 판은 81이 됩니다. 80 + 1 = 81
3막 — 직접 해보기
42의 십의 자리 숫자를 놓으세요. 판은 비어 있고 알은 움직일 수 있습니다. 7 곱하기 6은 42입니다. 그 십의 자리 숫자를 십의 자리 기둥에 놓아 판이 40이 되게 하고, 일의 자리 숫자는 다음 단계로 남겨 두세요. 42를 한 번에 놓으면 이 단계를 놓치게 되는데, 그것은 의도한 것입니다. 이렇게 나누는 것이 두 숫자가 구구단에서 읽힌 것이 아니라 서로 다른 두 기둥으로 갔음을 보여 줍니다. 0 + 40 = 40
이제 일의 자리 숫자를 0번 기둥에. 판은 40을 나타냅니다. 일의 자리 기둥에서 아랫알 두 개를 올려 42가 되면 곱셈이 끝납니다. 십의 자리 숫자는 1번 기둥, 일의 자리 숫자는 0번 기둥이며, 어디로 갔는지 외워 둘 것은 없었습니다. 40 + 2 = 42, so 7 × 6 = 42
높은 자리부터. 판은 비어 있습니다. 34의 3은 1번 기둥에 서 있으니 3 × 2 = 6은 1 + 0 = 1번 기둥에 속합니다. 십의 자리 기둥에서 윗알을 내리고 아랫알 하나를 올려 60을 만드세요. 6을 일의 자리 기둥에 놓으면 60이 아니라 6을 놓은 것이 되고, 단계가 그렇다고 알려 줍니다. 30 × 2 = 60
이제 곱해지는 수의 일의 자리 숫자입니다. 판은 60을 나타냅니다. 4 × 2 = 8은 0 + 0 = 0번 기둥에 속합니다. 판이 68이 되게 하면 문제가 끝납니다. 부분곱 둘, 기둥 둘, 겹침 없음입니다. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68
60에서 시작합니다. 그 부분은 이미 해봤으니까요. 첫 번째 부분곱 20 × 3 = 60은 조금 전 34 × 2에서 한 동작과 같아서, 판이 그것을 이미 놓은 채로 열립니다. 남은 것은 7 × 3 = 21입니다. 그 십의 자리 숫자는 이미 6을 담고 있는 십의 자리 기둥으로 갑니다. 거기서 아랫알 두 개를 올려 판이 80이 되게 하세요. 62가 나온다면 그 숫자를 일의 자리 기둥에 더한 것입니다. 숫자는 맞고 기둥이 틀린 것인데, 주판 곱셈에 정말로 있는 실수는 그것뿐입니다. 60 + 20 = 80
그리고 일의 자리 숫자. 판은 80을 나타냅니다. 일의 자리 기둥에서 아랫알 하나를 올려 판이 81이 되면 27 × 3이 끝납니다. 80 + 1 = 81, so 27 × 3 = 81
기둥 다섯 개, 목표는 없습니다. 곱셈은 답이 두 입력을 합친 만큼 넓어질 수 있는 첫 기법이라, 99 × 99에는 기둥 네 개가 필요합니다. 그래서 이 판은 다섯 기둥이고 채점도 하지 않습니다. 문제를 하나 고르고, 부분곱을 각각 i + j번 기둥에 놓은 뒤, 짝이 다 떨어지면 판을 읽으세요.
다음은 어디로
같은 기법, 서로 다른 네 가지 쓰임입니다. 이 페이지는 단계별 학습이었고, 아래는 나머지입니다. 어느 것도 이 페이지를 대신하지는 않습니다.
다른 단계별 학습
다섯 가지 기술, 하나의 사다리. 각각은 직접 움직일 알이 있는 별도의 학습이며, 배우는 사람이 만나게 되는 순서대로 실었습니다.