Multiplicació amb àbac: a quina vareta va cada producte parcial

Un mur diferent

Quatre a la vareta, per tres. Aquí no hi ha res encallat. La vareta mostra 4 i li sobren boles, així que no és el mur que descriuen les pàgines dels complements, on una vareta es queda sense boles lliures. El problema és que 4 × 3 = 12 té dues xifres, de manera que la resposta no pot cabre tota a la vareta on hi ha el 4, i cap regla de la suma no et diu on va la part que sobra. La multiplicació respon aquesta única pregunta. 4 × 3 = ?

La regla, en quatre imatges

Unitats per unitats va a la vareta de les unitats. El 2 és a la vareta 0 i el multiplicador 3 és d’una xifra, així que tots dos números de posició són zero. Suma’ls: 0 + 0 = 0, i el 6 va a la vareta 0. Res de sorprenent encara: és el cas en què la regla coincideix amb el que hauries endevinat. 2 × 3 = 6

Mou la xifra una vareta a l’esquerra i la resposta la segueix. Les mateixes xifres, el mateix producte, 6, però ara el 2 és a la vareta 1. 1 + 0 = 1, així que el 6 va a la vareta 1 i el marc mostra 60. El multiplicador no ha canviat i la taula de multiplicar tampoc; ha canviat la posició del multiplicand, i la resposta s’ha mogut amb ella. 20 × 3 = 60

I una altra vegada, una vareta més a l’esquerra. Ara el 2 és a la vareta 2, així que 2 + 0 = 2 i el 6 es col·loca a la vareta de les centenes: 600. Tres marcs, un producte, tres varetes diferents. Les xifres no han decidit mai on anava la resposta: ho han decidit les posicions. 200 × 3 = 600

Un producte de dues xifres fa servir dues varetes. Vuit per nou fan 72, i cap vareta no pot mostrar 72. La xifra de les unitats, el 2, va a la vareta 0 + 0 = 0, i la de les desenes, el 7, va una vareta més a l’esquerra, a la vareta 1. Aquest és l’únic altre cas que hi ha: el producte de dues xifres soles no supera mai 9 × 9 = 81, així que té una xifra o dues, i dues xifres vol dir la vareta i + j i la del costat. 8 × 9 = 72

Una xifra cadascun: 7 × 6

Comença amb el marc buit. Les boles porten la resposta a mesura que es construeix; els dos nombres que es multipliquen queden a la línia de dalt. Tant el 7 com el 6 són d’una xifra i són a la vareta 0, així que tot el que produeix aquesta operació va a la vareta 0 + 0 = 0 i, quan no hi cap, a la vareta 1. 7 × 6 = ?

Primer, la xifra de les unitats. Set per sis fan 42. La xifra de les unitats és el 2, i el 2 va a la vareta 0. Pugen dues boles de la terra en una vareta buida i res més del marc no es mou. 0 + 2 = 2

Després, la xifra de les desenes, una vareta a l’esquerra. La xifra de les desenes de 42 és el 4, i va a la vareta 0 + 1 = 1. Pugen quatre boles de la terra a la vareta de les desenes i el marc mostra 42. Dues varetes ocupades per una operació amb dos nombres d’una sola xifra: la prova més curta que «quant» i «on» són preguntes diferents. 2 + 40 = 42

Dues xifres per una: 34 × 2

Dues xifres vol dir dos productes parcials. El 3 és a la vareta 1 i el 4 a la vareta 0; el multiplicador 2 és a la vareta 0. Això dona dues parelles per col·locar, (1, 0) i (0, 0), i aquesta guia interactiva sempre comença per la posició més alta del multiplicand. En un soroban real l’ordre és lliure, perquè a la suma no li importa en quin ordre arriben les coses; fixar-lo aquí és el que permet comprovar cada pas. 34 × 2 = ?

Tres per dos, a la vareta 1. 3 × 2 = 6 és d’una xifra, així que necessita una vareta, i 1 + 0 = 1 diu quina. La bola del cel avall i una bola de la terra amunt a la vareta de les desenes, i el marc mostra 60. 30 × 2 = 60

Quatre per dos, a la vareta 0. 4 × 2 = 8, també d’una xifra, i 0 + 0 = 0 el posa a la vareta de les unitats. La bola del cel avall, tres boles de la terra amunt, i el marc mostra 68. En aquest exemple no s’ha encavalcat res: cada producte parcial ha tingut una vareta per a ell sol, que és el cas fàcil. 60 + 8 = 68

Caure en una vareta ocupada: 27 × 3

L’exemple per al qual existeix de debò la regla. El 2 és a la vareta 1, el 7 a la vareta 0 i el multiplicador 3 a la vareta 0. El segon dels dos productes parcials tindrà dues xifres, així que voldrà dues varetes, i una ja tindrà una xifra del primer. 27 × 3 = ?

Primer la posició més alta: dos per tres. 2 × 3 = 6, una xifra, a la vareta 1 + 0 = 1. El marc mostra 60. Fins aquí, és l’exemple anterior una altra vegada. 20 × 3 = 60

Set per tres fan 21: primer la xifra de les unitats. La xifra de les unitats, l’1, va a la vareta 0 + 0 = 0. Puja una bola de la terra a la vareta de les unitats i el marc mostra 61. El 2 encara ha d’arribar, i no va aquí. 60 + 1 = 61

Ara la xifra de les desenes, en una vareta que no és buida. La xifra de les desenes, el 2, va a la vareta 0 + 0 + 1 = 1, que ja mostra 6. Suma-l’hi: pugen dues de les tres boles de la terra lliures, el 6 es converteix en 8 i el marc mostra 81. Si poses aquest 2 a la vareta de les unitats, el marc mostra 63: una disposició de boles perfectament vàlida que, simplement, és la resposta equivocada, i l’error que aquesta pàgina vol evitar. 61 + 20 = 81

Et toca: 7 × 6

Col·loca la xifra de les unitats de 42. El marc és buit i les boles ja es poden moure. Set per sis fan 42; posa’n la xifra de les unitats a la vareta de les unitats perquè el marc mostri 2, i deixa la de les desenes per al pas següent. Si poses 42 de cop, aquest pas no et sortirà, i és expressament: la separació és el que demostra que les dues xifres han anat a dues varetes diferents i no s’han llegit d’una taula de multiplicar. 0 + 2 = 2

Ara la xifra de les desenes, una vareta a l’esquerra. El marc mostra 2. Aixeca quatre boles de la terra a la vareta de les desenes perquè mostri 42 i la multiplicació s’ha acabat. Vareta 0 per a la xifra de les unitats, vareta 1 per a la de les desenes, i no has hagut de recordar on anava cadascuna. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42

Et toca: 34 × 2

Primer la posició més alta. El marc és buit. El 3 de 34 és a la vareta 1, així que 3 × 2 = 6 va a la vareta 1 + 0 = 1: la bola del cel avall i una bola de la terra amunt a la vareta de les desenes, i queda 60. Si poses el 6 a la vareta de les unitats, hauràs posat 6 en lloc de 60, i el pas t’ho dirà. 30 × 2 = 60

Ara la xifra de les unitats del multiplicand. El marc mostra 60. 4 × 2 = 8 va a la vareta 0 + 0 = 0. Fes que el marc mostri 68 i l’operació està feta: dos productes parcials, dues varetes, sense encavalcaments. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68

Et toca: el desbordament de 27 × 3

Comencem a 60, perquè aquesta part ja l’has feta. El primer producte parcial, 20 × 3 = 60, és el mateix moviment que has fet fa un moment amb 34 × 2, així que el marc s’obre amb això ja posat. Queda 7 × 3 = 21. Posa’n la xifra de les unitats a la vareta de les unitats perquè el marc mostri 61. 60 + 1 = 61

I la xifra de les desenes, a la vareta ocupada. El marc mostra 61. La xifra de les desenes de 21 va a la vareta de les desenes, que ja té un 6: aixeca-hi dues boles de la terra perquè el marc mostri 81. Si mostra 63, has sumat aquesta xifra a la vareta de les unitats: xifra correcta, vareta equivocada, i aquest és l’únic error que té de debò la multiplicació amb soroban. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81

Joc lliure

Cinc varetes, cap objectiu. La multiplicació és la primera tècnica en què la resposta pot ser tan ampla com les dues dades juntes (99 × 99 necessita quatre varetes), així que aquest marc té cinc varetes i res no es puntua. Tria una operació, col·loca cada producte parcial a la vareta i + j i llegeix el marc quan s’acabin les parelles.