四珠算盘上的凑五：亲手拨珠

一堵墙

盘上是4，却要你再加3。 4颗下珠已经全部靠上梁。加3意味着还要再抬起3颗，可是一颗也不剩了。这一档并没有满——它显示的是4，不是9——但你想要的珠子没有了。凑五存在的意义，就是为了这一刻。 4 + 3 = ?

凑成5的两组搭配

5就是一颗珠。 把上珠拨下靠梁，这一档就显示5，梁下一颗珠也没有动。全部的诀窍就在这一颗珠上：不管下珠此刻是什么状态，它都让你用一个动作加上或去掉5。

4和1。 4颗下珠上去，离5还差1。所以1是4的凑五补数，4也是1的凑五补数——加4就是“加5，退回1”，而在没有空位时加1，就是“加5，退回4”。 4 + 1 = 5

3和2。 另一组搭配，也是最后一组。3颗下珠上去，离5还差2，所以3和2配对。两组搭配就是完整的表，这里再没有别的要背了。 3 + 2 = 5

4加3

从4开始。 4颗下珠靠梁，上珠还在上面。要求是加3，直接拨做不到，于是去找补数：3和2凑成5。 4 + 3 = 7

先加5。 把上珠拨下来。梁下什么也不动，所以这一档一个动作就从4跳到9。你想加的是3，实际加了5——多加了2。 4 + 5 = 9

再退回2。 把2颗下珠拨离梁，这一档停在7上。加5再减2就是加3，用两个做得到的动作，换掉了一个做不到的动作。 9 − 2 = 7

3加4

从3开始。 3颗下珠上去了，还剩1颗空着。要求是加4，而空着的只有1颗珠，所以同一条规则换另一组搭配来用：4和1凑成5。 3 + 4 = 7

先加5。 上珠拨下，这一档显示8。这一次多的是1，不是2——多演算一个例子的原因正在这里。规则不是“总是2”，而是“总是那个补数”。 3 + 5 = 8

再退回1。 1颗下珠拨离梁，这一档显示7。两组不同的搭配，同样的两个动作，两道题落在同一个答案上。 8 − 1 = 7

7减3

盘上是7，却要你减去3。 7是上珠加2颗下珠。减3意味着要拨下3颗已经上去的下珠，可上去的只有2颗。同一堵墙，只是从另一侧撞上来。 7 − 3 = ?

把规则倒过来读。 如果加3是“加5，退回2”，那么减3就是“减5，补回2”。同一组搭配，方向相反。这一半是多数学习者从来没被人讲过的，减法之所以让人觉得比实际更难，原因就在这里。 7 − 3 = 4

先减5。 把上珠送回上面。这一档一个动作就从7降到2。你想减的是3，实际减了5——多减了2。 7 − 5 = 2

再补回2。 抬起2颗下珠，这一档显示4。减5再加2，就是减3。 2 + 2 = 4

6减4

从6开始。 6是上珠加1颗下珠。减4需要4颗已经上去的下珠，而现在只有1颗。4的补数是1，所以这一步是“减5，补回1”。 6 − 4 = 2

先减5。 上珠回到上面，这一档显示1。现在少了1——你想减的是4，实际减了5。 6 − 5 = 1

再补回1。 抬起1颗下珠，这一档显示2，两个动作都是做得到的。 1 + 1 = 2

轮到你：4 + 3

先加5。 这一档从4开始，算珠可以拨动了。只做动作的前一半：把上珠拨下来，让这一档显示9。从4到9只有一种拨法，所以单是这一步就能证明你用的是凑五，而不是一颗一颗数。 4 + 5 = 9

现在退回2。 这一档现在是9。拨下2颗下珠，让它显示7。这样就完成了4 + 3——靠一个5和一次修正做出来的，而不是去找三颗根本不存在的珠子。 9 − 2 = 7, so 4 + 3 = 7

轮到你：7 − 3

先减5。 这一档从7开始。把上珠送回上面，让它显示2。和刚才是同一个动作，只是方向相反。 7 − 5 = 2

现在补回2。 这一档现在是2。抬起2颗下珠，让它显示4，这道减法就做完了。如果中途这一档停在了意料之外的地方，不用管它，继续拨——这里不计分，“拨回原位”会把这一步重置。 2 + 2 = 4, so 7 − 3 = 4

自由拨珠

三档，没有目标数。 上面每一个讲过的盘面都只用了一档，因为凑五是一档之内的技法。这里给了三档，没有要够住的数。拨出一个数，再减掉一些，试试你还没用过的搭配。下面的读数会跟着你的任何动作变化。