一档上的4，乘以3。 这里没有什么卡住的地方。这一档读作4，珠子还有富余，所以它不是补数那几页讲的那种墙——那种墙是一档上没有空珠可用了。问题在于4 × 3=12是2位数，答案不可能全都待在4所在的那一档上——而没有任何一条加法规则说得清剩下的部分该去哪里。乘法回答的就是这一个问题。 4 × 3 = ?
互动分步教程 · 高级A
珠算乘法：每个部分积落在哪一档
从右往左给每一档编号——个位是0，十位是1，百位是2。第i档上的数字乘以第j档上的数字，答案就落在第i+j档上：它的个位数字放在那里，十位数字再往左一档。珠算乘法的全部内容就是这一条规则。本教程先把它画成四幅图，再用三道题走一遍，最后把珠子交出来。共9章、22步，全程不计时。
本页需要做什么
这不是一张练习纸，也不是一篇文章。每一章都是一台真实算盘的盘面，旁边配一段讲解，最后三分之一把算珠交给你：面板报出一个数，你去拨珠，它再判断盘面是不是这个数。每道例题都拆成两步分别判定，而不是合成一步，所以直接把早就知道的答案摆上去，前半步就通不过——这个拆分正是为了显示：一个乘积的两位数字要去两个不同的档。
乘法是高级A的核心内容，也就是九级阶梯上的第7级。如果10的补数还没有形成本能，先去做凑十的分步教程：部分积经常会落在已经有数字的档上，随之而来的修正就是进位，并不是什么新东西。
算盘上怎么做乘法？
给每一档一个档号：个位档是0，十位档是1，百位档是2，依此类推。取第一个数的每一位和第二个数的每一位，相乘，再把结果加到盘面的第i+j档上，其中i和j就是这两位的档号。两个1位数的乘积最大是81，所以它要么占一档，要么占两档：个位数字放在第i+j档，十位数字放在紧靠它左边的那一档。所有数位两两配完，盘面上就是答案。
部分积落在哪里，由这两位数字的档号决定，和它们的大小无关，而这也是这套技法唯一新增的东西。把它加到那一档原有的数上，只是普通加法——凑五和凑十照旧完成这部分工作。在实物算盘上，相乘的两个数会停在盘面左侧；本页的盘面只承载正在搭建的答案，题目留在旁边那一行里。
亲手拨珠
盘面现在显示4。
整节课的完整文字
第一幕：答案不会留在原地
个位乘个位，落在个位档。 2站在第0档上，乘数3是1位数，所以两个档号都是0。把它们相加：0+0=0，于是6放在第0档。到这里还没有什么意外——这正是规则和直觉一致的情形。 2 × 3 = 6
把数字往左移一档，答案也跟着走。 数字相同，乘积同样是6，但这次2站在第1档上。1+0=1，所以6放在第1档，盘面显示60。乘数没变，乘法口诀也没变；变的是被乘数的档号，答案就跟着它移动了。 20 × 3 = 60
再往左一档，同样如此。 现在2在第2档上，所以2+0=2，6落在百位档：600。三个盘面，一个乘积，三个不同的档。决定答案去处的从来不是数字本身——而是档号。 200 × 3 = 600
2位数的乘积要占两档。 八九七十二，而没有哪一档能显示72。个位数字2放在第0+0=0档，十位数字7再往左一档，放在第1档。剩下的情形就只有这一种：两个1位数的乘积不会超过9 × 9=81，所以它要么一位、要么两位；两位就意味着第i+j档，再加上它旁边那一档。 8 × 9 = 72
第二幕：走三遍，溢出留到最后
从清空的盘面开始。 珠子承载正在搭建的答案；相乘的两个数留在上面那一行里。7和6都是1位数，都站在第0档上，所以这道题产生的一切都属于第0+0=0档——放不下的部分，则落到第1档。 7 × 6 = ?
先放个位数字。 六七四十二，也就是42。它的个位数字是2，2放在第0档。空档上升起两颗下珠，盘面别处一动不动。 0 + 2 = 2
再放十位数字，往左一档。 42的十位数字是4，它放在第0+1=1档。十位档上升起四颗下珠，盘面显示42。两个输入都是1位数，却用掉了两档——这是“多少”和“哪里”是两个问题的最短证明。 2 + 40 = 42
2位数意味着两个部分积。 3站在第1档，4站在第0档；乘数2站在第0档。于是有两对要安放，(1, 0)和(0, 0)，而本教程一律先取被乘数的最高位。在真实的算盘上，顺序是自由的，因为加法不在乎东西按什么次序到来；这里把顺序固定下来，是为了让每一步都能判定。 34 × 2 = ?
3乘2，落在第1档。 3 × 2=6是1位数，所以只需要一档，而1+0=1指明了是哪一档。十位档上珠拨下、一颗下珠拨上，盘面显示60。 30 × 2 = 60
4乘2，落在第0档。 4 × 2=8，同样是1位数，0+0=0把它放在个位档。上珠拨下，三颗下珠拨上，盘面显示68。这个例子里没有任何重叠——每个部分积都独占一档，属于容易的情形。 60 + 8 = 68
规则真正针对的例子。 2在第1档，7在第0档，乘数3在第0档。两个部分积里的第二个会是2位数，所以它要占两档——而其中一档上已经有第一个部分积留下的数字。 27 × 3 = ?
先算高位：2乘3。 2 × 3=6，1位数，放在第1+0=1档。盘面显示60。到这里为止，和上一个例子完全一样。 20 × 3 = 60
7乘3得21——先放个位数字。 个位数字1放在第0+0=0档。个位档上升起一颗下珠，盘面显示61。那个2还没有放，而且它不属于这里。 60 + 1 = 61
接着是十位数字，要放到一个并不空的档上。 十位数字2属于第0+0+1=1档，而那一档已经读作6。把它加上去：三颗空着的下珠里升起两颗，6变成8，盘面显示81。要是把这个2放到个位档上，盘面就成了63——一组完全合法的珠子排列，只不过答案是错的，而本页存在的意义就是防住这个错误。 61 + 20 = 81
第三幕：动手试试
放上42的个位数字。 盘面已经清空，珠子可以拨动。六七四十二；把它的个位数字放在个位档上，让盘面显示2，十位数字留到下一步。如果一口气摆出42，这一步就通不过，而这是故意的——拆成两步，才能证明这两位数字确实去了两个不同的档，而不是从乘法口诀里直接背出来的。 0 + 2 = 2
再放十位数字，往左一档。 盘面显示2。在十位档上拨起四颗下珠，让它读作42，这道乘法就完成了。个位数字进第0档，十位数字进第1档，它们该去哪里，完全不需要靠记忆。 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42
先算高位。 盘面已经清空。34里的3站在第1档，所以3 × 2=6属于第1+0=1档：十位档上珠拨下、一颗下珠拨上，得到60。要是把6放在个位档上，摆出的就是6而不是60，这一步会指出来。 30 × 2 = 60
接着是被乘数的个位数字。 盘面显示60。4 × 2=8属于第0+0=0档。把盘面拨成68，这道题就做完了——两个部分积，两档，互不重叠。 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68
从60开始，因为这一部分刚才已经做过。 第一个部分积20 × 3=60，和刚才在34 × 2里做的动作完全一样，所以盘面一开始就已经摆好了它。剩下的是7 × 3=21。把它的个位数字放在个位档上，让盘面显示61。 60 + 1 = 61
然后是十位数字，放到已经占用的那一档。 盘面显示61。21的十位数字放在十位档上，而那一档已经有6：在那里拨起两颗下珠，让盘面显示81。如果显示的是63，那就是把这位数字加到了个位档上——数字对，档错，而这正是珠算乘法真正会犯的唯一一个错。 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81
5档，不设目标。 乘法是第一种答案宽度可以等于两个输入宽度之和的技法——99 × 99需要四档——所以这个盘面留了5档，而且不作任何判定。挑一道题，把每个部分积放到第i+j档上，等所有数位配完，再读盘面。
接下来可以去哪里
同一套技法，四种不同的用途。本页是分步教程，下面是另外几种，它们都不能取代它。
其他技法讲解
五种技法，同一条阶梯。每一种都有自己的讲解和自己要拨的算珠，按学习者遇到它们的先后顺序排列在这里。