चार, और आपसे तीन और माँगे जा रहे हैं। चारों पृथ्वी मनके पहले से पट्टी पर लगे हैं। 3 जोड़ने का मतलब है उनमें से तीन और ऊपर उठाना, और अब कोई बचा ही नहीं। छड़ भरी नहीं है — वह 4 पढ़ रही है, 9 नहीं — पर जो मनके आपको चाहिए, वे ख़त्म हो चुके हैं। छोटा दोस्त ठीक इसी पल के लिए है। 4 + 3 = ?
इंटरैक्टिव मार्गदर्शिका · प्रारंभिक A
सोरोबान पर छोटे दोस्त: मनके ख़ुद हिलाइए
5 के पूरक, एक बार में एक नियम। नियम है क्या, यह पढ़िए; उसे आगे और पीछे, दोनों तरफ़ हल होते देखिए; फिर अबेकस थामिए और छड़ को उस संख्या पर ले जाइए जो माँगी जा रही है। नौ अध्याय, बाईस क़दम, कहीं घड़ी नहीं चलती।
यह पन्ना आपसे क्या माँगता है
यह न ड्रिल शीट है, न लेख। हर अध्याय असली अबेकस का एक फ़्रेम है और बग़ल में उसकी व्याख्या, और आख़िरी तिहाई हिस्सा मनके आपके हवाले कर देता है: पैनल कोई संख्या बताता है, आप मनके हिलाते हैं, और वह बता देता है कि छड़ उसे पढ़ रही है या नहीं। चूक जाने की कोई क़ीमत नहीं — मनके वहीं रहते हैं जहाँ आपने छोड़े थे, और दो कोशिशों के बाद पूरा समीकरण सामने आ जाता है।
छोटे दोस्त ही प्रारंभिक A का पूरा विषय हैं — नौ स्तरों की सीढ़ी का तीसरा पायदान। इससे पहले और कुछ नहीं चाहिए, बस एक छड़ पर एक अंक बनाना और पढ़ना आना चाहिए।
छोटे दोस्त (5 के पूरक) का नियम क्या है?
एक छड़ पर 5 का एक स्वर्ग मनका और 1-1 के चार पृथ्वी मनके होते हैं। जब जोड़ना हो और उसके लिए ज़रूरत भर के ख़ाली पृथ्वी मनके न बचे हों, तो उसकी जगह पाँच जोड़िए और अंतर वापस ले लीजिए। जब घटाना हो और ज़रूरत भर के पृथ्वी मनके ऊपर न उठे हों, तो पाँच हटा दीजिए और अंतर लौटा दीजिए। वह अंतर हमेशा वही साथी होता है जो पाँच बनाता है।
| छड़ पर की संख्या | उसका साथी |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
| 4 | 1 |
जानने को सिर्फ़ दो जोड़ियाँ हैं, 1 के साथ 4 और 2 के साथ 3 — इसीलिए यह तालिका नियम का कोई नमूना नहीं, पूरा नियम है। पाँच का ख़ुद कोई छोटा दोस्त नहीं होता: वह तो पहले से ही एक मनका है।
मनके ख़ुद हिलाइए
फ़्रेम पर अभी 4 है।
पूरा पाठ, लिखा हुआ
भाग एक — यह नियम है क्यों
पाँच एक ही मनका है। स्वर्ग मनके को नीचे पट्टी तक ले आइए और छड़ 5 पढ़ने लगती है, जबकि पट्टी के नीचे कुछ भी हिला नहीं। वह अकेला मनका ही पूरी तरकीब है: पृथ्वी मनके चाहे जिस हाल में हों, वह आपको एक ही चाल में पाँच जोड़ने या हटाने देता है।
चार और एक। चार पृथ्वी मनके ऊपर होने का मतलब है पाँच से एक कम। इसलिए 1, 4 का छोटा दोस्त है और 4, 1 का — 4 जोड़ना यानी “पाँच जोड़िए, एक वापस लीजिए”, और जगह न होने पर 1 जोड़ना यानी “पाँच जोड़िए, चार वापस लीजिए”। 4 + 1 = 5
तीन और दो। दूसरी जोड़ी, और आख़िरी भी। तीन पृथ्वी मनके ऊपर होने का मतलब है पाँच से दो कम, इसलिए 3 का साथी 2 है। दो जोड़ियाँ ही पूरी तालिका हैं; यहाँ याद करने को और कुछ है ही नहीं। 3 + 2 = 5
भाग दो — दोनों तरफ़ से हल
चार से शुरू। चार पृथ्वी मनके पट्टी पर, स्वर्ग मनका ऊपर। माँग +3 की है और सीधी चाल मुमकिन नहीं, तो साथी की ओर हाथ बढ़ाइए: 3 और 2 मिलकर 5 बनाते हैं। 4 + 3 = 7
पाँच जोड़िए। स्वर्ग मनके को नीचे ले आइए। पट्टी के नीचे कुछ नहीं हिलता, इसलिए छड़ एक ही चाल में 4 से 9 पर पहुँच जाती है। आपको तीन चाहिए थे और आपने पाँच जोड़ दिए — दो ज़्यादा। 4 + 5 = 9
दो लौटा दीजिए। दो पृथ्वी मनके पट्टी से हटा दीजिए और छड़ 7 पर आ ठहरती है। पाँच जोड़कर दो हटाना ही तीन जोड़ना है, और इसमें एक नामुमकिन चाल की जगह दो मुमकिन चालें लगीं। 9 − 2 = 7
तीन से शुरू। तीन पृथ्वी मनके ऊपर, एक अब भी ख़ाली। माँग +4 की है और ख़ाली सिर्फ़ एक मनका है, तो वही नियम दूसरी जोड़ी के साथ लगता है: 4 और 1 मिलकर 5 बनाते हैं। 3 + 4 = 7
पाँच जोड़िए। स्वर्ग मनका नीचे और छड़ 8 पढ़ती है। इस बार दो नहीं, एक ज़्यादा — और दूसरा उदाहरण हल करके दिखाने की वजह ठीक यही है। नियम “हमेशा दो” नहीं है, नियम “हमेशा साथी” है। 3 + 5 = 8
एक लौटा दीजिए। एक पृथ्वी मनका पट्टी से हटा और छड़ 7 पढ़ती है। जोड़ियाँ दो अलग, चालें वही दो, और दोनों सवाल एक ही जवाब पर आ ठहरते हैं। 8 − 1 = 7
सात, और आपसे तीन हटाने को कहा जा रहा है। सात यानी स्वर्ग मनका और दो पृथ्वी मनके। 3 हटाने का मतलब है ऊपर उठे तीन पृथ्वी मनके गिराना, और ऊपर सिर्फ़ दो हैं। वही दीवार, बस दूसरी तरफ़ से। 7 − 3 = ?
नियम को उल्टा पढ़िए। अगर तीन जोड़ना “पाँच जोड़िए, दो वापस लीजिए” था, तो तीन हटाना “पाँच हटाइए, दो वापस दीजिए” है। जोड़ी वही, दिशा उल्टी। यही वह आधा हिस्सा है जो ज़्यादातर सीखने वालों को दिखाया ही नहीं जाता, और इसीलिए घटाव जितना है उससे कठिन लगता है। 7 − 3 = 4
पाँच हटा दीजिए। स्वर्ग मनके को वापस ऊपर भेजिए। छड़ एक ही चाल में 7 से गिरकर 2 पर आ जाती है। आपको तीन हटाने थे और पाँच हट गए — दो ज़्यादा चले गए। 7 − 5 = 2
दो लौटा दीजिए। दो पृथ्वी मनके ऊपर उठाइए और छड़ 4 पढ़ती है। पाँच हटाकर दो जोड़ना ही तीन हटाना है। 2 + 2 = 4
छह से शुरू। छह यानी स्वर्ग मनका और एक पृथ्वी मनका। 4 हटाने के लिए चार पृथ्वी मनके ऊपर चाहिए और ऊपर एक ही है। 4 का साथी 1 है, तो यह हुआ “पाँच हटाइए, एक वापस दीजिए”। 6 − 4 = 2
पाँच हटा दीजिए। स्वर्ग मनका ऊपर और छड़ 1 पढ़ती है। अब एक कम हो गया — आपको चार हटाने थे और पाँच हट गए। 6 − 5 = 1
एक लौटा दीजिए। एक पृथ्वी मनका ऊपर उठाइए और छड़ 2 पढ़ती है — दो चालों में, और दोनों मुमकिन थीं। 1 + 1 = 2
भाग तीन — अब आपकी बारी
पाँच जोड़िए। छड़ 4 से शुरू होती है और मनके अब चलते हैं। चाल का सिर्फ़ पहला आधा हिस्सा कीजिए: स्वर्ग मनके को नीचे लाइए ताकि छड़ 9 पढ़े। 4 से वहाँ पहुँचने का ठीक एक ही रास्ता है, और इसीलिए यह अकेला क़दम साबित कर देता है कि आपने गिनने की जगह छोटे दोस्त का इस्तेमाल किया। 4 + 5 = 9
अब दो लौटा दीजिए। छड़ 9 पर है। दो पृथ्वी मनके गिरा दीजिए ताकि वह 7 पढ़े। इससे 4 + 3 पूरा हो जाता है — एक पाँच और एक सुधार से, न कि तीन ऐसे मनके ढूँढ़कर जो वहाँ कभी थे ही नहीं। 9 − 2 = 7, so 4 + 3 = 7
पाँच हटा दीजिए। छड़ 7 से शुरू होती है। स्वर्ग मनके को वापस ऊपर भेजिए ताकि वह 2 पढ़े। वही चाल जो पहले थी, बस उल्टी दिशा में चलती हुई। 7 − 5 = 2
अब दो लौटा दीजिए। छड़ 2 पर है। दो पृथ्वी मनके ऊपर उठाइए ताकि वह 4 पढ़े, और घटाव पूरा। रास्ते में छड़ कहीं और जा टिके तो उसे रहने दीजिए और आगे बढ़िए — यहाँ किसी को अंक नहीं मिलते, और “मनके वापस रखिए” से क़दम फिर से शुरू हो जाता है। 2 + 2 = 4, so 7 − 3 = 4
तीन छड़ें, कोई लक्ष्य नहीं। ऊपर सिखाए गए हर फ़्रेम में एक ही छड़ थी, क्योंकि छोटे दोस्त एक छड़ की तकनीक हैं। यहाँ तीन हैं, और छूने को कोई लक्ष्य नहीं। कोई संख्या बनाइए, उसमें से कुछ हटाइए, कोई ऐसी जोड़ी आज़माइए जो अब तक इस्तेमाल नहीं की। नीचे की पढ़त वही दिखाती रहेगी जो आप करेंगे।
आगे कहाँ जाएँ
तकनीक वही, काम चार अलग-अलग। यह पन्ना मार्गदर्शिका था; ये बाक़ी हैं, और इनमें से कोई भी उसकी जगह नहीं लेता।
बाक़ी मार्गदर्शिकाएँ
पाँच तकनीकें, एक ही सीढ़ी। हर एक की अपनी मार्गदर्शिका है और अपने मनके हिलाने को, और यहाँ वे उसी क्रम में दी गई हैं जिस क्रम में सीखने वाले को मिलती हैं।