अबेकस कैसे चलाएँ

फ़्रेम

यह सोरोबान है। लकड़ी का एक फ़्रेम, उसमें खड़ी छड़ों की क़तार, और मनके जो ऊपर-नीचे सरकते हैं। न कोई स्क्रीन, न बैटरी, न कुछ लिखना पड़ता है — मनकों का मतलब एक बार समझ गए, तो याद रखने का काम फ़्रेम ख़ुद कर लेता है। इसे बाएँ से दाएँ पढ़िए, ठीक वैसे जैसे काग़ज़ पर लिखी संख्या। चीनी suanpan भी यही विचार है, बस उसके हर हिस्से में एक मनका ज़्यादा होता है।

गणना-पट्टी

मनका तभी गिना जाता है जब वह पट्टी को छू रहा हो। बीच से गुज़रती वह क्षैतिज पट्टी ही गणना-पट्टी है, और यही इस उपकरण का सबसे अहम हिस्सा है। मनके को उससे सटा दीजिए, मनका चालू। उससे दूर हटा दीजिए, मनका बंद। इस पन्ने की बाक़ी हर बात इसी एक वाक्य से निकलती है।

छड़ें

एक छड़ पर एक ही अंक। हर खड़ी छड़ 0 से 9 तक का एक अंक रखती है, इसलिए तीन छड़ें 0 से 999 तक कोई भी संख्या दिखा देती हैं — ठीक वैसे जैसे काग़ज़ पर तीन ख़ाने। जब कोई छड़ भर जाती है, तो आप उसकी बाईं वाली छड़ पर एक मनका चलाते हैं। अपने आप कुछ नहीं होता: हासिल आप ख़ुद लेते हैं, अपनी उँगली से। यही वह हिस्सा है जो आपका दिमाग़ सीख रहा है।

स्वर्ग मनका — मान 5

पट्टी के ऊपर वाले मनके का मान 5 है। हर छड़ पर ऐसा ठीक एक ही मनका होता है, और वह नीचे सरककर पट्टी से मिलने पर चालू होता है। फ़्रेम अभी 5 दिखा रहा है — एक मनका, एक चाल, कोई गिनती नहीं। इसीलिए अबेकस पर 5 जोड़ना उतना ही जल्दी होता है जितना 1 जोड़ना।

पृथ्वी मनके — हर एक का मान 1

पट्टी के नीचे वाले हर मनके का मान 1 है। ऐसे चार मनके होते हैं, और वे ऊपर सरककर चालू होते हैं। यहाँ तीन उठे हुए हैं, इसलिए यह छड़ 3 पढ़ती है। दोबारा गिनिए: चार हैं, पाँच नहीं। वही ग़ायब पाँचवाँ मनका इस पूरी सैर के बाक़ी हिस्से की वजह है।

साफ़ यानी शून्य

भरे हुए फ़्रेम से शुरू करते हैं। यह छड़ 7 दिखा रही है — स्वर्ग मनका नीचे, दो पृथ्वी मनके ऊपर। कोई नई गणना शुरू करने से पहले आप अबेकस साफ़ करते हैं, यानी हर मनके को उसकी शुरुआती जगह पर लौटा देते हैं।

शून्य एक स्थिति है, किसी चीज़ का न होना नहीं। मनके कहीं ग़ायब नहीं हुए। स्वर्ग मनका वापस ऊपर चला गया, पृथ्वी मनके वापस नीचे, और कोई भी पट्टी को नहीं छू रहा — इसलिए फ़्रेम 0 पढ़ता है। असली सोरोबान पर आप फ़्रेम को थोड़ा झुकाकर पट्टी के नीचे उँगली फिरा देते हैं और वह साफ़ हो जाता है। हमेशा साफ़ फ़्रेम से शुरू कीजिए।

इकाई, दहाई, सैकड़ा

वही मनका कभी 1 का, कभी 10 का, कभी 100 का। तीनों छड़ों पर एक-एक पृथ्वी मनका उठा है, और फ़्रेम 111 पढ़ता है। एक जैसे मनके, एक जैसी चाल, पर तीन अलग-अलग मान — क्योंकि मान इस बात से आता है कि मनका किस छड़ पर बैठा है। सबसे दाईं छड़ हमेशा इकाई की होती है।

हर तीसरी छड़ पर निशान होता है। असली सोरोबान पर हर तीसरी छड़ पर एक छोटा बिंदु होता है, जो छड़ों को तीन-तीन के समूहों में बाँटता है — इकाई, हज़ार, दस लाख — वही काम जो 1,000,000 में अल्पविराम करते हैं, और निशान वाली किसी एक छड़ को आप इकाई चुन लेते हैं। यह फ़्रेम इसे और सरल रखता है: इकाई हमेशा सबसे दाईं छड़ होती है, और हज़ार वाली छड़ रंगी हुई है।

कौन सी उँगली कौन सा मनका चलाती है

अँगूठा ऊपर धकेलता है, तर्जनी नीचे। पृथ्वी मनके अँगूठे से ऊपर जाते हैं और तर्जनी से वापस नीचे आते हैं। स्वर्ग मनका दोनों दिशाओं में तर्जनी से ही चलता है — चालू करने के लिए नीचे, बंद करने के लिए ऊपर। एक-दो दिन यह झंझट लगता है, फिर उस पर ध्यान ही नहीं जाता, और आगे चलकर यही सधे हुए हाथ को इतना तेज़ बना देता है कि आप संख्याएँ बोल भी न पाएँ।

0 से 9 तक अंक बनाना

छोटे अंक सिर्फ़ पृथ्वी मनकों से बनते हैं। 1, 2, 3 या 4 के लिए बस उतने ही पृथ्वी मनके अँगूठे से ऊपर धकेल दीजिए। यह छड़ 3 दिखा रही है। यहाँ अभी कोई चालाकी नहीं है — आप सचमुच मनके गिन रहे हैं।

पाँच एक मनका है, पाँच मनके नहीं। स्वर्ग मनका पट्टी तक नीचे आ गया है और पृथ्वी मनके वापस नीचे चले गए हैं। यही 5 है — एक उँगली की एक ही चाल। यहीं पहली बार अबेकस गिनने से तेज़ पड़ता है।

छह से नौ तक हर अंक 5 और बाक़ी है। स्वर्ग मनके को नीचे और जितने पृथ्वी मनके अभी चाहिए उन्हें ऊपर — दोनों को चुटकी की तरह एक साथ, एक ही चाल में। यहाँ वह है 5 + 2 = 7। 0 से 9 तक हर अंक इसी तरह 5 और 1-1 वाले मनकों से बनता है, और यही पूरी वजह है कि एक छड़ पर नौ नहीं, सिर्फ़ पाँच मनके काफ़ी हैं।

बड़ी संख्या बनाना

सबसे बड़े स्थान से शुरू कीजिए, यानी बाईं ओर से। 472 बनाने के लिए पहले सैकड़े वाली छड़: चार पृथ्वी मनके ऊपर। बाएँ से दाएँ चलना उसी क्रम से मेल खाता है जिस क्रम में आप संख्या बोलते और पढ़ते हैं, और यही आदत लंबे सवालों में कोई अंक छूटने से बचाती है।

फिर दहाई। बीच वाली छड़ को 7 चाहिए — स्वर्ग मनका नीचे और दो पृथ्वी मनके ऊपर, चुटकी की तरह एक साथ, एक ही चाल में। अब फ़्रेम 470 पढ़ता है। ध्यान दीजिए, हर छड़ अलग-अलग सेट होती है; जब तक आप गणना शुरू नहीं करते, वे आपस में कुछ लेन-देन नहीं करतीं।

फिर इकाई, और काम पूरा। दाईं वाली छड़ पर दो पृथ्वी मनके, और फ़्रेम 472 पढ़ता है। तीन छड़ें, तीन अंक, उसी क्रम में जिस क्रम में आप उन्हें बोलकर पढ़ते।

मनकों से संख्या पढ़ना

अब मनके सेट करने के बजाय उन्हें पढ़िए। अंक-पंक्ति जान-बूझकर बंद कर दी गई है — यह उल्टा कौशल है, और असल में यही मानसिक गणित तक ले जाता है। स्वर्ग मनका नीचे यानी 5, एक पृथ्वी मनका ऊपर यानी 1, और बाक़ी छड़ों पर कुछ नहीं। तो फ़्रेम 6 पढ़ता है।

इकाई से दूर वाली छड़ के स्वर्ग मनके पर नज़र रखिए। बीच वाली छड़ का स्वर्ग मनका नीचे है। दहाई वाली छड़ पर वह 5 नहीं है — वह 50 है। सैकड़े वाली छड़ पर दो पृथ्वी मनके 200 बनाते हैं, और इकाई वाली छड़ ख़ाली है। फ़्रेम 250 पढ़ता है। शुरुआती लोग यही रचना सबसे ज़्यादा ग़लत पढ़ते हैं।

बीच में ख़ाली छड़ का मतलब शून्य है। सैकड़े वाली छड़ पर चार पृथ्वी मनके, दहाई पर कुछ भी नहीं, इकाई पर स्वर्ग मनका और दो पृथ्वी मनके। बीच वाली छड़ छोड़ी नहीं गई है — वह शून्य है जो अपना स्थान थामे हुए है। फ़्रेम 407 पढ़ता है, 47 नहीं।

जब जगह हो, तब जोड़ना

छड़ पर 1 से शुरू कीजिए। एक पृथ्वी मनका ऊपर, तीन अब भी नीचे टिके हुए। अब हम 2 जोड़ने जा रहे हैं। 1 + 2 = 3

जो मनके चाहिए वे ख़ाली पड़े हैं, तो बस उन्हें चला दीजिए। अँगूठे से दो और पृथ्वी मनके ऊपर, और छड़ 3 पढ़ती है। यह सीधी चाल है: जब ज़रूरत भर के मनके ख़ाली बैठे हों, तो जोड़ना सचमुच उन्हें सरका देने जितना ही है। अबेकस पर होने वाली ज़्यादातर गणना यही है। 1 + 2 = 3

अब 13 में 5 जोड़िए। इकाई वाली छड़ 3 दिखा रही है, और उसका स्वर्ग मनका अब भी ऊपर, बिना इस्तेमाल के पड़ा है। 13 + 5 = 18

5 जोड़ना एक उँगली का काम है। स्वर्ग मनका नीचे आता है और फ़्रेम 18 पढ़ता है। आपने एक भी पृथ्वी मनके को छुआ तक नहीं — इसीलिए अबेकस पर 5 जोड़ना सस्ता सौदा है, जबकि उँगलियों पर वही 5 महँगा पड़ता है। 13 + 5 = 18

जब हटाने को मनके हों, तब घटाना

घटाना वही नियम है, बस उल्टी दिशा में। छड़ 8 दिखा रही है — स्वर्ग मनका नीचे, तीन पृथ्वी मनके ऊपर। अब हम 3 घटाने जा रहे हैं। 8 − 3 = 5

मनकों को पट्टी से वापस दूर धकेलिए। तीन पृथ्वी मनके तर्जनी से वापस नीचे जाते हैं और छड़ 5 पढ़ती है। स्वर्ग मनका हिला तक नहीं। घटाना यानी मनके बंद करना, ठीक वैसे ही जैसे जोड़ना उन्हें चालू करना था। 8 − 3 = 5

एक साथ दो छड़ें: 47 − 25। एक बार में एक छड़ पर काम कीजिए, सबसे बड़े स्थान से शुरू करके, और सब आसान रहता है। दहाई वाली छड़ 4 दिखा रही है और उसे 2 गँवाने हैं; इकाई वाली छड़ 7 दिखा रही है और उसे 5 गँवाने हैं। 47 − 25 = 22

हर छड़ अपना अंक ख़ुद सँभालती है। पहले दहाई वाली छड़ दो पृथ्वी मनके गिरा देती है (47 − 20 = 27), फिर इकाई वाली छड़ अपना स्वर्ग मनका वापस ऊपर भेजती है (27 − 5 = 22)। फ़्रेम 22 पढ़ता है। छड़ों ने आपस में कोई बात नहीं की, क्योंकि कहीं उधार लेने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। 47 − 25 = 22

जब मनके ख़त्म हो जाएँ

अब इसमें 3 जोड़कर देखिए। चारों पृथ्वी मनके पहले से ऊपर हैं। धकेलने के लिए कोई पाँचवाँ मनका है ही नहीं, फिर भी 4 + 3 = 7 साफ़-साफ़ एक असली सवाल है जिसका असली जवाब है। उस मनके की ओर हाथ बढ़ाइए जो वहाँ है ही नहीं — वही अटकन अगली तकनीक के होने की पूरी वजह है। स्वर्ग मनका अब भी ख़ाली है, और उसका मान 5 है। 4 + 3 = ?

छोटे दोस्त — 5 के पूरक

ज़रूरत से ज़्यादा लीजिए, फिर बाक़ी लौटा दीजिए। आप 3 सीधे नहीं जोड़ सकते। लेकिन 5 जोड़ सकते हैं, और 5, 3 से 2 ज़्यादा है — तो 5 जोड़िए और फिर वह अतिरिक्त 2 हटा दीजिए। हम 2 को 3 का छोटा दोस्त कहते हैं, क्योंकि 3 + 2 = 5। 4 + 3 = 7

पहले 5 जोड़िए। स्वर्ग मनका नीचे आता है और छड़ उछलकर 9 पर पहुँच जाती है। यह ठीक 2 ज़्यादा है, और जान-बूझकर ज़्यादा है। 4 + 5 = 9

फिर छोटा दोस्त वापस ले लीजिए। दो पृथ्वी मनके वापस नीचे जाते हैं और छड़ 7 पर आ ठहरती है। आपने 3 जोड़ लिया, जबकि तीन ख़ाली मनके कभी थे ही नहीं। छोटे दोस्त वाला हर जोड़ इसी शक्ल का होता है: 5 जोड़िए, फिर छोटा दोस्त हटाइए। घटाव उल्टे क्रम में चलता है: 5 हटाइए, फिर छोटा दोस्त वापस जोड़िए, यानी 6 − 2 बनता है 6 − 5 + 3। 9 − 2 = 7

जब पूरी छड़ भर जाए

अब 9 में 3 जोड़कर देखिए। इस बार छड़ पूरी तरह भरी है — स्वर्ग मनका नीचे, चारों पृथ्वी मनके ऊपर। उधार लेने के लिए कोई बचा हुआ 5 नहीं है, क्योंकि वह आप पहले ही इस्तेमाल कर चुके हैं। एक छड़ ज़्यादा से ज़्यादा 9 तक जाती है, इसलिए जवाब बाईं वाली छड़ से ही आना होगा। 9 + 3 = ?

बड़े दोस्त — 10 के पूरक

दस अगली छड़ पर रहता है। 3 जोड़ने का मतलब है 10 जोड़ना और 7 वापस लेना, क्योंकि 3 + 7 = 10। हम 7 को 3 का बड़ा दोस्त कहते हैं। पहले वह 10 बाईं वाली छड़ पर जाता है, फिर वह 7 इसी छड़ से उतरता है। 9 + 3 = 12

पहले 1 का हासिल बाईं ओर ले जाइए। दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका ऊपर, और फ़्रेम 19 पढ़ता है। यही हासिल है — आपकी अपनी उँगली से, बग़ल वाली छड़ पर। आपको 3 जोड़ना था पर आपने 10 जोड़ दिया, यानी 7 ज़्यादा, इसलिए अगली चाल में वह 7 हटता है। 9 + 10 = 19

फिर बड़ा दोस्त इस छड़ से हटाइए। 9 में से 7 हटाने के लिए स्वर्ग मनका वापस ऊपर जाता है और दो पृथ्वी मनके नीचे आते हैं, पीछे 2 बचता है, और फ़्रेम 12 पढ़ता है। इकाई वाली छड़ अचानक लगभग ख़ाली दिखने लगती है, जो पहली बार हमेशा ग़लत लगता है। बड़े दोस्त वाला हर जोड़ इसी शक्ल का होता है: बाईं वाली छड़ पर 1 जोड़िए, फिर इस छड़ से बड़ा दोस्त हटाइए। घटाव इसे उल्टा चलाता है, जैसा अगला अध्याय दिखाता है। 19 − 7 = 12

उधार लेना

उधार लेना वही हासिल है, बस उल्टा चलता हुआ। फ़्रेम 11 दिखा रहा है और हमें 7 घटाना है। इकाई वाली छड़ पर 1 है, तो उसमें से हटाने लायक़ 7 जैसा कुछ है ही नहीं। 11 − 7 = 4

पहले बाईं वाली छड़ से 10 ले लीजिए। दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका वापस नीचे जाता है और फ़्रेम 1 पढ़ता है। आपने अभी 10 हटाया है, जो असल में हटाने वाले 7 से 3 ज़्यादा है। 11 − 10 = 1

फिर बड़ा दोस्त लौटा दीजिए। इकाई वाली छड़ पर तीन पृथ्वी मनके ऊपर, और फ़्रेम 4 पढ़ता है। वही जोड़ी, बस उल्टी दिशाओं में: 7 घटाने के लिए 10 लीजिए और उसका बड़ा दोस्त 3 लौटा दीजिए। 1 + 3 = 4

एक ही चाल में दोनों दोस्त

कभी-कभी दोनों दोस्त एक साथ काम आते हैं। फ़्रेम 6 दिखा रहा है और हम 7 जोड़ रहे हैं। 7 का बड़ा दोस्त 3 है, इसलिए चाल यह है: 1 का हासिल बाईं ओर ले जाइए, फिर इस छड़ से 3 हटाइए। पर इकाई वाली छड़ देखिए — उस पर सिर्फ़ एक पृथ्वी मनका ऊपर है, इसलिए उसमें से 3 हटाना अपने आप में एक मुसीबत है। 6 + 7 = 13

पहले 1 का हासिल ले जाइए। दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका ऊपर और फ़्रेम 16 पढ़ता है। यह उत्तर से 3 ज़्यादा है, इसलिए इकाई वाली छड़ से 3 हटाना होगा — वही हिस्सा जिसके लिए दूसरी तकनीक चाहिए। 6 + 10 = 16

फिर 5 हटाइए। 3 घटाने के लिए छोटे दोस्त का सहारा लीजिए: स्वर्ग मनका वापस ऊपर भेजिए (यानी −5) और इकाई वाली छड़ गिरकर 1 पर आ जाती है, इसलिए फ़्रेम 11 पढ़ता है। आपने 2 ज़्यादा हटा दिए हैं, जिसे अगला क़दम ठीक कर देगा। 16 − 5 = 11

छोटा दोस्त लौटा दीजिए। दो पृथ्वी मनके ऊपर और इकाई वाली छड़ 3 पढ़ती है, इसलिए फ़्रेम 13 पढ़ता है। आख़िरी दोनों चालों ने मिलकर ठीक 3 घटाया — यानी 7 का बड़ा दोस्त — और वहाँ तक पहुँचने के लिए 5 के पूरक का इस्तेमाल किया। 6 + 7 के लिए उँगली की तीन चालें, और एक ही सवाल में दोनों तकनीकें। दोनों दोस्तों वाली यह चाल मध्यम A का काम है, जो बड़े दोस्तों के बाद वाला स्तर है, और यहीं अबेकस गिनने का खिलौना रहना छोड़ देता है। 11 + 2 = 13

अब आपकी बारी

अब फ़्रेम आपका है। पाँच छड़ें, अंक चालू, कुछ भी बंद नहीं। कोई संख्या बनाइए, उसमें जोड़िए, उसमें से घटाइए, और दोबारा शुरू करना हो तो साफ़ कर दीजिए। जब हल करने के लिए सवाल चाहिए हों, तो गाइड मी किसी भी समीकरण को मनका-दर-मनका हल कर देगा, और अभ्यास ड्रिल आपके उत्तर जाँचेंगी।