मानसिक अबेकस — जापानी में अंज़ान — कोई आम मानसिक गणित नहीं है जिस पर याददाश्त की कोई तरकीब चिपका दी गई हो। यह वही सोरोबान पद्धति है, बस फ़्रेम की एक तस्वीर पर चलती हुई: वही पूरक, वही छड़ें, चालों का वही क्रम, और हाथ के नीचे कुछ भी नहीं। यह मार्गदर्शिका उपकरण को तीन पड़ावों में हटाती है — पहले फ़्रेम और अंक, फिर अकेला फ़्रेम, फिर कुछ भी नहीं — और हर पड़ाव पर आपको जाँचती है। नौ अध्याय, चौबीस क़दम, कहीं घड़ी नहीं चलती।
यह पन्ना आपसे क्या माँगता है
हर अध्याय एक फ़्रेम है और बग़ल में उसकी व्याख्या, और आख़िरी तिहाई हिस्सा मनके आपके हवाले कर देता है। इस मंच के बारे में दो बातें पहले जान लेना ठीक रहेगा। फ़्रेम के नीचे वाली पढ़त हमेशा मान बताती है — उन क़दमों पर भी जहाँ अंक-पंक्ति बंद है — इसलिए वे क़दम इम्तिहान नहीं, अपनी जाँच हैं: मनकों को उनकी शक्ल से पढ़िए, फिर नीचे देखिए कि आप सही थे या नहीं। और मानसिक क़दमों पर फ़्रेम सचमुच ख़ाली रहता है, इसलिए पढ़त शून्य कहती है जबकि बग़ल वाली समीकरण-पंक्ति गिनती चलती रहती है। दोनों के बीच का यही फ़ासला सबक़ है, कोई ख़राबी नहीं।
मानसिक अबेकस ही मध्यम B का विषय है — नौ स्तरों की सीढ़ी का छठा पायदान: तीन अंकों का काम, और फ़्रेम का दिमाग़ में उतरना शुरू। छोटे दोस्त, बड़े दोस्त और मध्यम A की दोनों दोस्तों वाली चाल कोई विकल्प नहीं, पहली शर्तें हैं — इस पन्ने का हर मानसिक रास्ता उन्हीं नियमों में से एक है, बस मनके हटाकर, और नीचे का 66 + 7 दोनों दोस्तों वाली चाल है।
मानसिक अबेकस (अंज़ान) क्या है?
यहाँ कोई नया गणित नहीं है। फ़्रेम की तस्वीर बनाइए, उस तस्वीर में मनके उसी क्रम में हिलाइए जिस क्रम में आपके हाथ हिलाते — पहले सबसे बड़ा स्थान, पूरक से पहले हासिल — और आख़िर में उसकी शक्ल पढ़ लीजिए। यह चलता इसलिए है कि सोरोबान पर संख्या अंकों की लड़ी नहीं, एक तस्वीर होती है: छह थामे हुई छड़ यानी पट्टी के ऊपर एक मनका और नीचे एक, और जोड़ों की लंबी लड़ी के बीच किसी शब्द के मुक़ाबले शक्ल को थामे रखना आसान है।
उपकरण हमेशा के लिए नहीं जाता। मानसिक अबेकस असली फ़्रेम पर ही खड़ा है और उसी से बँधा रहता है — इस मार्गदर्शिका के आख़िर में फ़्रेम लौट आता है, और जो लोग पूरी गणना दिमाग़ में करते हैं, वे भी मनकों पर अभ्यास करते रहते हैं। ट्रेनिंग तस्वीर की हो रही है, और तस्वीर तभी टिकती है जब असली चीज़ अपने-आप होने लगे।
मनके ख़ुद हिलाइए
अबेकस लोड हो रहा है…
फ़्रेम पर अभी 7 है।
पूरा पाठ, लिखा हुआ
भाग एक — उपकरण को हटाना
मनके, और नीचे एक अंक। इकाई वाली छड़ पर सात: स्वर्ग मनका नीचे, दो पृथ्वी मनके ऊपर, और नीचे अंक-पंक्ति उसकी तसदीक़ करती हुई। प्रारंभिक B के आख़िर में सीखने वाला यहीं खड़ा होता है — गणित मनके करते हैं और अंक उसे जाँच लेते हैं।
अंक बंद। अब शक्ल को ही बताना है। वही सात, बस अंक-पंक्ति बंद कर दी गई है। मनकों में कुछ नहीं बदला; बस अब उन्हें पढ़ना आपका काम है। पट्टी के ऊपर एक मनका और नीचे दो यानी 5 + 2, और सात की शक्ल यही होती है।
और अब फ़्रेम ख़ाली है। एक ही झटके में उस पर कुछ नहीं बचा। इसके बाद का सब कुछ उसी फ़्रेम पर होता है जिसे आपने अभी देखा, दिमाग़ में थामे हुए — और इसीलिए सोरोबान पर साफ़ करना कोई रीसेट नहीं, एक असली चाल है। मानसिक अबेकस वही तस्वीर है, जिस पर मनके अब भी चलते रहते हैं।
बारह। बाईं छड़ पर एक पृथ्वी मनका ऊपर, दाईं पर दो पृथ्वी मनके ऊपर, और कहीं कोई स्वर्ग मनका नहीं: 10 + 2। छपे हुए अंक की जगह छड़ को उसकी शक्ल से पढ़ लेना ही वह इकलौता कौशल है जिसके बिना यह तकनीक हो ही नहीं सकती, इसलिए वह किसी भी गणित से पहले आता है। फ़्रेम के नीचे वाली पंक्ति बता देती है कि आपने ठीक पढ़ा या नहीं।
छियालीस। दहाई वाली छड़ पर चार पृथ्वी मनके और कोई स्वर्ग मनका नहीं, यानी 40। इकाई वाली छड़ पर स्वर्ग मनका नीचे और एक पृथ्वी मनका ऊपर, यानी 5 + 1। आप एक साथ दो अलग शक्लें पढ़ रहे हैं, और अंक हट जाने के बाद दो अंकों की संख्या आपसे यही माँगती है।
अस्सी। दहाई वाली छड़ पर स्वर्ग मनका नीचे और तीन पृथ्वी मनके ऊपर — 50 + 30 — और इकाई वाली छड़ ख़ाली। ख़ाली छड़ एक शून्य है और उसे किसी भी दूसरे अंक जितने ध्यान से पढ़ना पड़ता है: जिस छड़ पर आपकी नज़र नहीं गई, वह छूटा हुआ स्थान-मान है।
भाग दो — एक ही तरह का सवाल, तीन दूरियों पर
सात, और आपसे आठ और माँगे जा रहे हैं। कोई छड़ 15 नहीं दिखा सकती, इसलिए यह बड़ा दोस्त है: 8 का साथी 2 है, और चाल यह हुई — बाईं ओर दस जोड़िए, यहाँ से दो हटाइए। गणित में कुछ भी नया नहीं है; इस अध्याय की बात यह है कि जब सब कुछ अब भी आपके सामने हो, तब यह चाल महसूस कैसी होती है। 7 + 8 = ?
पहले दस जोड़िए। दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका ऊपर उठता है और फ़्रेम 17 पढ़ता है, यानी उत्तर से दो ज़्यादा। 7 + 10 = 17
फिर दो हटा दीजिए। दो उठे हुए पृथ्वी मनके गिरते हैं और इकाई वाली छड़ 5 पढ़ती है, स्वर्ग मनका अब भी नीचे, इसलिए फ़्रेम 15 पढ़ता है। दोनों मनके पहले से उसी तरफ़ थे जिस तरफ़ चाहिए थे, इसलिए यह आधा हिस्सा छड़ के भीतर का सीधा घटाव है। इससे बनने वाली शक्ल को थामे रखिए — बाईं छड़ पर एक मनका, दाईं छड़ पर पट्टी के ऊपर एक मनका। आगे चलकर आपको यही शक्ल दिमाग़ में बनानी है। 17 − 2 = 15
चौंतीस, और पढ़कर बताने वाला कोई नहीं। दहाई वाली छड़ पर तीन पृथ्वी मनके, इकाई वाली पर चार। पूरक जान-बूझकर वही रखा गया है जो पिछले अध्याय में था: यहाँ नई चीज़ गणित नहीं, ग़ायब अंक-पंक्ति है। 8 का साथी 2 है, तो वहाँ दस जोड़िए और यहाँ से दो हटाइए। 34 + 8 = ?
पहले दस जोड़िए। दहाई वाली छड़ पर एक ख़ाली पृथ्वी मनका ऊपर उठता है। तीन पहले से ऊपर थे, इसलिए हिलाने को ठीक एक ही बचा था, और फ़्रेम 44 पढ़ता है। नीचे वाली पंक्ति देखने से पहले पूरी संख्या शक्ल से ही अपने-आपको सुना दीजिए — बाईं ओर चार मनके, दाईं ओर चार, यानी चवालीस। 34 + 10 = 44
फिर दो हटा दीजिए। चार उठे हुए पृथ्वी मनकों में से दो गिरते हैं और इकाई वाली छड़ 2 पढ़ती है, इसलिए फ़्रेम 42 पढ़ता है। नीचे की पढ़त आपकी जाँच है, आपका स्रोत नहीं। 44 − 2 = 42
फ़्रेम साफ़ कीजिए, और साफ़ ही रहने दीजिए। यहाँ से आगे मनके हिलते नहीं। आपके सामने वाला फ़्रेम ख़ाली है और ख़ाली ही रहेगा, इसलिए नीचे की पढ़त पूरे रास्ते शून्य कहती रहेगी जबकि उसके ऊपर वाली पंक्ति गिनती चलती रहेगी। यह विरोधाभास कोई ख़राबी नहीं — यही पूरी तकनीक है, ख़ुद पन्ने की ज़बानी। 26 + 47 = ?
तस्वीर में छब्बीस बनाइए। दहाई वाली छड़ पर दो पृथ्वी मनके; इकाई वाली छड़ पर स्वर्ग मनका नीचे और एक पृथ्वी मनका ऊपर। यही शक्ल दिमाग़ में बनाइए और थामे रखिए। “छब्बीस” शब्द को मत थामिए — मनकों को थामिए, क्योंकि आगे आप जो भी चाल चलने वाले हैं, वह मनकों पर की चाल है। 26
पहले सबसे बड़ा स्थान: चालीस जोड़िए। दहाई वाली छड़ पर 4 जोड़ने के लिए चार ख़ाली पृथ्वी मनके चाहिए और ख़ाली सिर्फ़ दो हैं, तो यह छोटा दोस्त है: पाँच जोड़िए, एक वापस लीजिए। दहाइयों में यह हुआ जमा पचास, घटा दस। तस्वीर 76 से होकर गुज़रती है और 66 पर आ ठहरती है — दोनों छड़ों पर स्वर्ग मनका नीचे और एक पृथ्वी मनका ऊपर। यह क्रम मर्ज़ी का नहीं है: सोरोबान सबसे बड़े स्थान से चलाया जाता है, इसलिए तस्वीर को भी उसी तरह चलाना होगा। 26 + 50 − 10 = 66
फिर वह सात, एक नियम के भीतर दूसरा नियम रखकर। 6 थामे हुई छड़ में 7 जोड़ने के लिए 13 चाहिए होता, इसलिए यह बड़ा दोस्त है: दस जोड़िए, तीन हटाइए। पर छह में से तीन हटाने के लिए तीन पृथ्वी मनके ऊपर चाहिए और ऊपर एक ही है, तो वह हटाना ख़ुद एक छोटा दोस्त है: पाँच हटाइए, दो लौटा दीजिए। हासिल के लिए दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका, 76; स्वर्ग मनका ऊपर, 71; दो पृथ्वी मनके ऊपर, 73। लगातार तीन पूरक, और फ़्रेम पर कुछ भी नहीं। 66 + 10 − 5 + 2 = 73
अब देखिए। मनके लौट आए हैं और 73 दिखा रहे हैं: दहाई वाली छड़ पर स्वर्ग मनका और दो पृथ्वी मनके, इकाई वाली छड़ पर तीन पृथ्वी मनके। यह जाँच है, कोई प्रदर्शन नहीं — जवाब तो आपके पास पहले से था। उसे एक शक्ल की तरह देख लेना ही आपके दिमाग़ की तस्वीर को उस उपकरण से बाँधता है जहाँ से वह आई थी। 26 + 47 = 73
भाग तीन — अब आपकी बारी, तीनों पर
पहले हासिल। इकाई वाली छड़ 7 पढ़ रही है और मनके अब चलते हैं। दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका ऊपर उठाइए ताकि फ़्रेम 17 पढ़े, और वहीं रुक जाइए। दोनों आधे एक साथ कर देने से यह कुछ साबित नहीं होता कि आपने कौन सा रास्ता लिया, इसीलिए हासिल अपना अलग क़दम है। इस क़दम के लिए स्थानों के नाम चालू कर दिए गए हैं: जो मनका आपको चाहिए, वह दाईं ओर से दूसरी छड़ पर है। 7 + 10 = 17
फिर आठ का बड़ा दोस्त हटा दीजिए। फ़्रेम 17 पढ़ रहा है। इकाई वाली छड़ पर दो पृथ्वी मनके गिरा दीजिए ताकि फ़्रेम 15 पढ़े। 17 − 2 = 15, so 7 + 8 = 15
वही चाल, बिना अंक-पंक्ति के: पहले हासिल। फ़्रेम 34 पढ़ रहा है और अंक बंद हैं। दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका ऊपर उठाइए ताकि फ़्रेम 44 पढ़े। वहाँ तीन मनके पहले से ऊपर थे, इसलिए हिल सकने वाला ठीक एक ही बचा है — और यह बात एक भी अंक पढ़े बिना दिख जाती है। 34 + 10 = 44
फिर दो, अब भी शक्ल देखकर। इकाई वाली छड़ पर दो पृथ्वी मनके गिरा दीजिए ताकि फ़्रेम 42 पढ़े। नीचे देखने से पहले शक्ल पढ़िए और तय कीजिए — फ़्रेम के नीचे वाली पंक्ति दोनों हाल में तसदीक़ कर देगी, इसलिए यहाँ कोई अटकेगा नहीं। 44 − 2 = 42, so 34 + 8 = 42
दहाई वाला काम तस्वीर में कीजिए, फिर नतीजा बनाइए। फ़्रेम साफ़ खुलता है, इसलिए यहाँ इधर-उधर करने को कुछ है ही नहीं। पहले तस्वीर में 26 और 40 जोड़िए — जमा पचास, घटा दस — और उसके बाद ही जो मिला वह बनाइए। जाँच-बिंदु 66 है, यानी बीच का चलता हुआ जोड़, और वह जान-बूझकर जवाब नहीं है: अगर आप पूरा सवाल एक ही बार में हल करके 73 बना देंगे, तो यह क़दम मना कर देगा। पहले रास्ता चलिए, फिर यहाँ उसकी तसदीक़ कीजिए। 26 + 40 = 66
अब इसे हाथों से पूरा कीजिए। फ़्रेम आपको असली मनकों पर 66 थमा देता है। सात जोड़िए: हासिल के लिए दहाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका, फिर इकाई वाली छड़ पर स्वर्ग मनका ऊपर और दो पृथ्वी मनके वापस ऊपर, और वह 73 पढ़ता है। वही तीन चालें जो आपने अभी दिमाग़ में कीं, अब उँगलियों से — ताकि तस्वीर और उपकरण एक-दूसरे से बँधे रहें। 66 + 7 = 73, so 26 + 47 = 73
पाँच छड़ें, कोई लक्ष्य नहीं। दोनों पूरक वाले सैंडबॉक्स से चौड़ा, क्योंकि इस तकनीक की ड्रिल अकेले सवालों पर नहीं, लंबी लड़ियों पर होती है। कोई संख्या बनाइए, उसमें एक और जोड़िए, फिर एक और, और फ़्रेम को चलता हुआ जोड़ थामे रहने दीजिए। फिर वही लड़ी हाथ रोककर, सिर्फ़ दिमाग़ के फ़्रेम पर चलाइए, और देखिए तस्वीर फिसलने से पहले आप कितनी दूर जाते हैं। यह तकनीक उसी दूरी को बढ़ाती है।
आगे कहाँ जाएँ
विषय वही, काम चार अलग-अलग। यह पन्ना मार्गदर्शिका था; ये बाक़ी हैं, और इनमें से कोई भी उसकी जगह नहीं लेता।
पाँच तकनीकें, एक ही सीढ़ी। हर एक की अपनी मार्गदर्शिका है और अपने मनके हिलाने को, और यहाँ वे उसी क्रम में दी गई हैं जिस क्रम में सीखने वाले को मिलती हैं।