साफ़ फ़्रेम से शुरू हर मनका पट्टी से दूर हटा हुआ है। यही शून्य है — “अभी कुछ नहीं” नहीं, बल्कि फ़्रेम जो सचमुच पढ़ रहा है, ठीक वैसे जैसे ख़ाली तराज़ू शून्य दिखाता है। ठीक से साफ़ करना पहली आदत है जो बनाने लायक़ है: लगभग साफ़ फ़्रेम वह संख्या दिखाता है जो आपने चाही ही नहीं थी।
नींव · पहला पायदान
अबेकस पर 99 तक गिनिए
सोरोबान में याद करने लायक़ निन्यानवे स्थितियाँ नहीं हैं। उसमें छह चालें हैं, और सौ से नीचे की हर संख्या उन्हीं में से किसी एक का दोहराव है। यह मार्गदर्शिका छहों चालें मनकों पर दिखाती है, और फिर मनके आपके हाथ में थमा देती है।
यह पन्ना किस काम का है
ज़्यादातर लोग अबेकस के सामने बैठते हैं और उसे एक-एक संख्या करके सीखने लगते हैं: यह सात है, यह तेईस है, यह इकसठ है। इस तरह याद करने को निन्यानवे चीज़ें बन जाती हैं, और इसीलिए फ़्रेम कठिन लगने लगता है। यह उपकरण ठीक उल्टी तरह से बना है। एक छड़ पर एक अंक, अंक बार-बार दोहराते हैं, और वही मुट्ठी भर चालें उन सबको बना देती हैं।
यह सीढ़ी का पहला पायदान है, और इसका कौशल संख्याएँ पढ़ना और बनाना है, गणित नहीं। कुछ क़दमों में ऐसी छड़ पर एक जोड़ा जाता है जिसके मनके ख़त्म हो चुके हैं, ताकि आप देख सकें कि 5 और 10 वैसे क्यों दिखते हैं जैसे दिखते हैं; ये चालें आगे के पायदानों पर नियमों के रूप में लौटती हैं। अगर आप 99 तक की कोई भी संख्या बिना सोचे दिखा सकते हैं, तो आगे बढ़िए: अगला पायदान बुनियादी है, जिसमें सीधा जोड़ना और घटाना आता है, और फिर छोटे दोस्त।
नियम: एक छड़, एक अंक, दो तरह के मनके
हर छड़ एक अंक थामती है। पट्टी के नीचे वाले चार मनकों में से हर एक का मान 1 है; उसके ऊपर बैठा अकेला मनका 5 का है। मनका तभी गिना जाता है जब उसे पट्टी की ओर धकेल दिया जाए। इसलिए एक छड़ ज़्यादा से ज़्यादा 9 दिखा सकती है — स्वर्ग मनका और चारों पृथ्वी मनके — इससे आगे कुछ नहीं, क्योंकि धकेलने के लिए दसवाँ मनका है ही नहीं। यह छत कोई कमी नहीं है जिससे बचकर निकलना हो। यही वजह है कि अगली छड़ मौजूद है।
इस पन्ने की दो चालें आगे की झलक हैं, और उनके नाम जान लेना मददगार है। एक जोड़कर चार से पाँच पर जाना +1 का छोटा दोस्त है: स्वर्ग मनका नीचे आता है और चारों पृथ्वी मनके हट जाते हैं (+1 = +5 − 4)। नौ से दस पर जाना +1 का बड़ा दोस्त है: बाईं वाली छड़ पर एक मनका, फिर नौ साफ़ (+1 = +10 − 9)। इन्हें यहाँ इसलिए दिखाया गया है कि फ़्रेम पर 5 और 10 समझ में आएँ; इनका नियमों के रूप में अभ्यास प्रारंभिक A और प्रारंभिक B में होता है, और दोनों की अपनी-अपनी मार्गदर्शिका है। पहले संख्याएँ बनाना सीखिए।
मनके ख़ुद हिलाइए
फ़्रेम पर अभी 0 है।
पूरा पाठ, लिखा हुआ
भाग एक · एक छड़, 0 से 9 तक
एक एक मनका ऊपर पट्टी तक धकेलिए। अब छड़ 1 पढ़ती है। फ़्रेम पर और कुछ नहीं बदला, और बदलने की ज़रूरत भी नहीं।
दो दूसरा मनका उसके साथ आ जुड़ता है। पट्टी पर दो मनके, यानी 2। पट्टी के नीचे वाले हर मनके का मान ठीक 1 है, इसलिए उन्हें गिन लेना ही उन्हें पढ़ लेना है।
तीन तीन। ध्यान दीजिए, आप यह नहीं चुन रहे कि कौन से मनके उठें — वे क्रम से ही ऊपर आते हैं, क्योंकि वे एक ही छड़ पर पिरोए हैं और एक-दूसरे को पार नहीं कर सकते।
चार पट्टी पर चार मनके। छड़ का निचला हिस्सा बस यहीं तक जाता है, और अगला क़दम ही तय करता है कि अबेकस आपकी समझ में आता है या नहीं।
पाँचवाँ मनका है ही नहीं छड़ के नीचे वाले हिस्से को देखिए। हर मनका पहले से ऊपर है। धकेलने को कुछ बचा ही नहीं, और फिर भी 4 + 1 = 5 है, यह तो ज़ाहिर है। यही वह पल है जब उपकरण आपसे कहता है कि इसके बारे में सोचने का तरीक़ा बदलिए — संख्या मनकों का कोई ढेर नहीं है जिसमें आप जोड़ते चले जाएँ। 4 + 1 = ?
पहले: पट्टी पर चार यह तस्वीर ज़ेहन में रखिए। चार मनके ऊपर, और स्वर्ग मनका अब भी ऊपर पट्टी से दूर टिका हुआ।
बाद में: पाँच, एक ही चाल में ऊपर वाला मनका पट्टी तक उतर आता है और चारों मनके नीचे चले जाते हैं। पाँच। यह “एक मनका जोड़ना” नहीं है — यह एक मनके का आना और चार का जाना है, और मान सिर्फ़ 1 इसलिए बढ़ता है क्योंकि आने वाला मनका 5 का है। इसका अभ्यास तब तक कीजिए जब तक हाथ इसे एक ही चाल में न करने लगे, क्योंकि जिस भी अबेकस को आप कभी छुएँगे, उसकी हर छड़ यही करेगी। 4 + 1 = 5
छह स्वर्ग मनका अपनी जगह बना रहता है और नीचे से एक मनका फिर ऊपर आ जाता है। पाँच और एक। यहाँ से आगे सब कुछ ज़ाहिर है — और यही उस अदला-बदली का इनाम है। 5 + 1 = 6
सात ऊपर पाँच, नीचे दो। छड़ पढ़ते समय पहले ऊपर वाला मनका पढ़िए और फिर नीचे वालों को गिनिए — यह क्रम अपने-आप होने लगता है, और रफ़्तार यहीं से शुरू होती है। 5 + 2 = 7
आठ पाँच और तीन। सात से बस एक ही चाल दूर। 5 + 3 = 8
नौ पाँच और चार — अब छड़ का हर मनका पट्टी पर है। 9 सबसे बड़ा अंक है, और सबसे बड़ा अंक दिखता ऐसा ही है: पूरी तरह भरी हुई छड़। 5 + 4 = 9
सात दिखाइए छड़ साफ़ कीजिए और 7 बनाइए। इसे बनाने का सिर्फ़ एक ही तरीक़ा है, और इस उपकरण की यही सबसे काम की बात है: हर संख्या की ठीक एक ही शक्ल होती है। 7 = 5 + 2
चार से पाँच बनाइए छड़ इस वक़्त 4 पर है। इसे 5 पढ़वाइए। अगर आप जोड़ने के लिए कोई मनका ढूँढ़ते रह जाएँ, तो ऊपर वाली अदला-बदली दोबारा पढ़िए — यह क़दम ठीक इसी को पकड़ने के लिए है। 4 + 1 = 5
भाग दो · दूसरी छड़, और नौ पर क्या होता है
छड़ भर चुकी है हर मनका पट्टी पर है। पिछली बार छड़ का निचला हिस्सा ख़त्म हुआ था और स्वर्ग मनके ने बचा लिया था। इस बार पूरी छड़ ख़त्म हो चुकी है, और उस पर कहीं कोई ऐसा मनका नहीं जो काम आ सके। मदद अब कहीं और से ही आनी होगी। 9 + 1 = ?
पहले: नौ इकाई वाली छड़ पूरी भरी हुई, और उसकी बाईं ओर एक ख़ाली छड़ जो अब तक कुछ नहीं कर रही।
पहला क़दम: दहाई वाली छड़ पर एक बाईं वाली छड़ पर एक मनका ऊपर आता है, जबकि इकाई वाली छड़ पर अब भी उसका नौ बना हुआ है। उस अकेले मनके का मान 10 है, सिर्फ़ इसलिए कि वह कहाँ बैठा है — इसलिए नहीं कि वह बाक़ी मनकों से कोई अलग है। स्थान-मान का पूरा विचार उसी एक चाल में है: वही मनका एक छड़ आगे कुछ और मतलब रखता है।
फिर: इकाई साफ़ कीजिए इकाई वाली छड़ पर जो कुछ था, सब वापस चला जाता है, और फ़्रेम दस पढ़ता है। कुछ भी खोया नहीं: दहाई वाली छड़ का वह एक मनका अब उस नौ के लिए है जो आपने साफ़ किया, और उस एक के लिए जो आपने जोड़ा। 9 + 1 = 10
ग्यारह दहाई वाली छड़ 1 पर टिकी रहती है और इकाई वाली छड़ फिर शुरू से चल पड़ती है। दस और एक। 10 + 1 = 11
चौदह दस और चार। इकाई वाली छड़ ठीक वही कर रही है जो उसने भाग एक में किया था — संख्या का यह आधा हिस्सा आपको पहले से आता है। 10 + 4 = 14
पंद्रह दस और पाँच, यानी इकाई वाली छड़ वही अदला-बदली करती है जिसका अभ्यास आप कर चुके हैं। दहाई वाली छड़ को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, वह हिलती तक नहीं। 10 + 5 = 15
उन्नीस दस और नौ — इकाई वाली छड़ फिर पूरी भर गई। यह हाल आप पहले भी देख चुके हैं, और आपको पता है आगे क्या आता है। 10 + 9 = 19
फिर से भरी हुई वही हाल जो नौ और एक पर था, बस बाईं ओर पहले से एक दहाई बैठी है। चाल वही रहती है। 19 + 1 = ?
बीस दहाई में एक और जोड़िए, इकाई साफ़ कीजिए। बीस। हासिल को दूसरी बार करते ही वह “दस पर हो जाने वाली कोई चालाकी” नहीं रह जाता — वह वह नियम बन जाता है जो हर बार लागू होता है जब कोई छड़ भर जाए। 19 + 1 = 20
सत्रह दिखाइए फ़्रेम इस वक़्त 10 पर है। इसे 17 पढ़वाइए। पहले बाईं छड़ बनाइए, फिर दाईं — आगे चलकर यह आदत बहुत काम आएगी, और अभी से शुरू करने में कुछ लगता भी नहीं। 17 = 10 + 5 + 2
भाग तीन · दस-दस करके, 99 तक
दस दहाई वाली छड़ पर एक मनका। देखिए यह भाग अब क्या करने जा रहा है: यह भाग एक को हूबहू दोहराएगा, बस एक छड़ बाईं ओर।
बीस दो मनके। वही मनके जो “दो” में थे, बस मान दस गुना।
तीस दहाई वाली छड़ पर तीन मनके, और इकाई वाली छड़ अब भी ख़ाली।
चालीस चार मनके — दहाई वाली छड़ का निचला हिस्सा अब भर चुका है। अगर आप अंदाज़ा लगा सकते हैं कि आगे क्या होगा, तो आपने यह उपकरण समझ लिया है।
पहले: चालीस दहाई वाली छड़ पर चार मनके ऊपर और नीचे कुछ बचा नहीं। ठीक वही तस्वीर जो चार पर थी, बस एक छड़ दाईं ओर। 40 + 10 = ?
बाद में: पचास ऊपर वाला मनका नीचे, चारों मनके नीचे। पचास। यह चाल आपको पहले से आती है — यह भाग एक वाली अदला-बदली ही है, जस की तस। ऊपर वाले मनके का मान हमेशा अपनी छड़ के मान का पाँच गुना होता है, इसलिए दहाई वाली छड़ पर वह 50 का है। यहाँ कुछ भी नया नहीं सीखा गया, और असल बात यही है। 40 + 10 = 50
साठ पचास वाला मनका और एक दहाई। पचास और दस। 50 + 10 = 60
अस्सी पचास और तीस। पहले ऊपर वाला मनका पढ़िए, फिर नीचे वालों को गिनिए — हमेशा की तरह। 50 + 30 = 80
नब्बे पचास और चालीस: दहाई वाली छड़ भर गई। अब इस फ़्रेम की हर छड़ ठीक वैसे ही चलती है जैसा आप पहले देख चुके हैं। 50 + 40 = 90
शुरुआत दहाई से तीस। पहले बड़ा स्थान बनाइए, तो काम करते-करते भी संख्या पढ़ी जाती रहती है।
फिर इकाई दाईं ओर 7 जोड़िए और फ़्रेम 37 पढ़ता है। दोनों छड़ों ने आपस में कोई सलाह नहीं की — दहाई वाला आधा और इकाई वाला आधा एक-दूसरे से आज़ाद हैं, और इसीलिए 0 से 9 को दो बार जान लेना ही 0 से 99 जान लेना है। 37 = 30 + 7
अड़सठ बाईं ओर साठ, दाईं ओर आठ। दो जानी-पहचानी छड़ें, अगल-बगल। 68 = 60 + 8
पचानवे नब्बे और पाँच। अब तक आपको मनके हिलाने से पहले ही दिख जाने चाहिए। 95 = 90 + 5
हर मनका पट्टी पर नब्बे और नौ — दोनों छड़ें पूरी तरह भरी हुई। दो छड़ें इससे बड़ी संख्या नहीं थाम सकतीं, और यहीं इस पन्ने के शीर्षक का वादा ख़त्म हो जाता है। 99 = 90 + 9
सौ के लिए तीसरी छड़ चाहिए बाईं ओर एक नई छड़ पर एक मनका ऊपर चढ़ता है और दोनों छड़ें साफ़ हो जाती हैं। वही हासिल जो नौ से दस पर और उन्नीस से बीस पर था, बस एक स्थान और आगे। नियम में कुछ नहीं बदलता; बस फ़्रेम और चाहिए। अबेकस के बड़ा होने की पूरी कहानी इतनी ही है। 99 + 1 = 100
छियालीस दिखाइए साफ़ फ़्रेम से शुरू कीजिए। पहले दहाई, फिर इकाई — चालीस यानी चार मनके, और छह यानी स्वर्ग मनका और एक मनका। 46 = 40 + 5 + 1
अब बहत्तर पर जाइए फ़्रेम इस वक़्त 46 पर है। इसे साफ़ किए बिना 72 तक पहुँचिए। एक संख्या से दूसरी संख्या तक चलना ही असल में गिनना है, और यह शून्य से कोई संख्या बनाने से अलग कौशल है। 72 = 70 + 2
तीन छड़ें, कोई जाँच नहीं अब यह फ़्रेम आपका है, जी भरकर खेलिए। पचानवे से एक-एक करके ऊपर गिनकर देखिए और दोनों हासिल होते हुए देखिए। अपने घर का नंबर बनाइए, अपनी उम्र, यह साल। फ़्रेम कोई हिसाब नहीं रख रहा।
आगे कहाँ जाएँ
गिनती वह पायदान है जिस पर बाक़ी सब कुछ खड़ा है। जब 0 से 99 अपने-आप होने लगे, तो आगे के पायदान मनकों के बारे में नहीं, संख्याओं के बारे में हो जाते हैं।
बाक़ी मार्गदर्शिकाएँ
पाँच तकनीकें, एक ही सीढ़ी। हर एक की अपनी मार्गदर्शिका है और अपने मनके हिलाने को, और यहाँ वे उसी क्रम में दी गई हैं जिस क्रम में सीखने वाले को मिलती हैं।