अबेकस से गुणा: हर आंशिक गुणनफल किस छड़ पर उतरता है

एक और तरह की दीवार

छड़ पर चार, गुणा तीन। यहाँ कुछ अटका नहीं है। छड़ 4 पढ़ रही है और उस पर मनके बचे भी हैं, इसलिए यह वह दीवार नहीं है जिसकी बात पूरक वाले पन्ने करते हैं, जहाँ छड़ पर ख़ाली मनके ख़त्म हो जाते हैं। दिक़्क़त यह है कि 4 × 3 = 12 दो अंकों का है, इसलिए पूरा जवाब उसी छड़ पर रह ही नहीं सकता जिस पर वह 4 बैठा है — और जोड़ का कोई नियम यह नहीं बताता कि बाक़ी हिस्सा कहाँ जाए। गुणा उसी एक सवाल का जवाब देता है। 4 × 3 = ?

नियम, चार तस्वीरों में

इकाई गुणा इकाई, इकाई वाली छड़ पर उतरता है। वह 2 छड़ 0 पर खड़ा है और गुणक 3 एक ही अंक का है, इसलिए दोनों स्थान संख्याएँ शून्य हैं। उन्हें जोड़िए: 0 + 0 = 0, और वह 6 छड़ 0 पर जाता है। अभी तक कुछ भी चौंकाने वाला नहीं — यह वह हाल है जहाँ नियम आपके अंदाज़े से सहमत है। 2 × 3 = 6

अंक को एक छड़ बाईं ओर ले जाइए और जवाब भी साथ चला जाता है। वही अंक, वही गुणनफल 6, पर अब वह 2 छड़ 1 पर खड़ा है। 1 + 0 = 1, इसलिए वह 6 छड़ 1 पर जाता है और फ़्रेम 60 पढ़ता है। न गुणक बदला, न पहाड़ा; गुण्य का स्थान बदला, और जवाब उसके साथ सरक गया। 20 × 3 = 60

और फिर एक बार, एक छड़ और बाईं ओर। अब वह 2 छड़ 2 पर है, तो 2 + 0 = 2 और वह 6 सैकड़े वाली छड़ पर जा बैठता है: 600। तीन फ़्रेम, एक ही गुणनफल, तीन अलग छड़ें। जवाब कहाँ गया, यह अंकों ने कभी तय नहीं किया — स्थानों ने किया। 200 × 3 = 600

दो अंकों का गुणनफल दो छड़ें लेता है। आठ गुना नौ 72 होता है, और कोई छड़ 72 नहीं दिखा सकती। इकाई अंक 2 छड़ 0 + 0 = 0 पर जाता है, और दहाई अंक 7 एक छड़ और बाईं ओर, यानी छड़ 1 पर। बस यही एक और हाल होता है: दो इकाई अंकों का गुणनफल कभी 9 × 9 = 81 से आगे नहीं जाता, इसलिए वह एक अंक का होगा या दो का, और दो अंक का मतलब है छड़ i + j और उसके बग़ल वाली छड़, दोनों। 8 × 9 = 72

दोनों में एक-एक अंक: 7 × 6

साफ़ फ़्रेम से शुरू कीजिए। मनके बनता हुआ जवाब थामते हैं; जिन दो संख्याओं का गुणा हो रहा है, वे उनके ऊपर वाली पंक्ति में रहती हैं। 7 और 6, दोनों एक-एक अंक के हैं और छड़ 0 पर खड़े हैं, इसलिए इस सवाल से जो कुछ निकलेगा वह छड़ 0 + 0 = 0 का है — और जब वहाँ न समाए, तो छड़ 1 का। 7 × 6 = ?

पहले इकाई अंक रखिए। सात गुना छह 42 होता है। उसका इकाई अंक 2 है, और 2 छड़ 0 पर जाता है। एक ख़ाली छड़ पर दो पृथ्वी मनके ऊपर उठते हैं और फ़्रेम पर और कुछ नहीं हिलता। 0 + 2 = 2

फिर दहाई अंक, एक छड़ बाईं ओर। 42 का दहाई अंक 4 है, और वह छड़ 0 + 1 = 1 पर जाता है। दहाई वाली छड़ पर चार पृथ्वी मनके ऊपर उठते हैं और फ़्रेम 42 पढ़ता है। दो छड़ें लगीं, जबकि सवाल के दोनों इनपुट एक-एक अंक के थे — और यह इस बात का सबसे छोटा सबूत है कि “कितना” और “कहाँ” दो अलग सवाल हैं। 2 + 40 = 42

दो अंक गुणा एक: 34 × 2

दो अंक यानी दो आंशिक गुणनफल। वह 3 छड़ 1 पर खड़ा है और 4 छड़ 0 पर; गुणक 2 छड़ 0 पर है। इससे रखने को दो जोड़ियाँ बनती हैं, (1, 0) और (0, 0), और यह मार्गदर्शिका हमेशा गुण्य का सबसे बड़ा स्थान पहले लेती है। असली सोरोबान पर क्रम आज़ाद है, क्योंकि जोड़ को इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता कि चीज़ें किस क्रम में आईं; यहाँ उसे बाँध देने से ही हर क़दम जाँचने लायक़ बनता है। 34 × 2 = ?

तीन गुना दो, छड़ 1 पर उतरता हुआ। 3 × 2 = 6 एक ही अंक है, इसलिए उसे एक ही छड़ चाहिए, और 1 + 0 = 1 उसका नाम बता देता है। दहाई वाली छड़ पर स्वर्ग मनका नीचे और एक पृथ्वी मनका ऊपर, और फ़्रेम 60 पढ़ता है। 30 × 2 = 60

चार गुना दो, छड़ 0 पर उतरता हुआ। 4 × 2 = 8, यह भी एक ही अंक, और 0 + 0 = 0 उसे इकाई वाली छड़ पर बिठा देता है। स्वर्ग मनका नीचे, तीन पृथ्वी मनके ऊपर, और फ़्रेम 68 पढ़ता है। इस उदाहरण में कुछ भी आपस में नहीं टकराया — हर आंशिक गुणनफल को अपनी अलग छड़ मिली, और यही आसान हाल है। 60 + 8 = 68

भरी हुई छड़ पर उतरना: 27 × 3

वह उदाहरण जिसके लिए यह नियम असल में है। वह 2 छड़ 1 पर है, 7 छड़ 0 पर, और गुणक 3 छड़ 0 पर। दोनों आंशिक गुणनफलों में से दूसरा दो अंकों का होगा, इसलिए उसे दो छड़ें चाहिए होंगी — और उनमें से एक पहले वाले का अंक पहले से थामे बैठी होगी। 27 × 3 = ?

पहले सबसे बड़ा स्थान: दो गुना तीन। 2 × 3 = 6, एक अंक, छड़ 1 + 0 = 1 पर। फ़्रेम 60 पढ़ता है। यहाँ तक यह पिछला उदाहरण ही दोबारा है। 20 × 3 = 60

सात गुना तीन 21 है — पहले इकाई अंक। इकाई अंक 1 छड़ 0 + 0 = 0 पर जाता है। इकाई वाली छड़ पर एक पृथ्वी मनका ऊपर उठता है और फ़्रेम 61 पढ़ता है। वह 2 अभी आना बाक़ी है, और उसकी जगह यहाँ नहीं है। 60 + 1 = 61

अब दहाई अंक, उस छड़ पर जो ख़ाली नहीं है। दहाई अंक 2 की जगह छड़ 0 + 0 + 1 = 1 है, जो पहले से 6 पढ़ रही है। उसे वहीं जोड़िए: तीन ख़ाली पृथ्वी मनकों में से दो ऊपर उठते हैं, 6 से 8 बन जाता है, और फ़्रेम 81 पढ़ता है। उसी 2 को इकाई वाली छड़ पर गिरा दीजिए तो फ़्रेम 63 पढ़ेगा — मनकों की एक बिल्कुल जायज़ सजावट, जो बस ग़लत जवाब है, और यह पन्ना उसी ग़लती को रोकने के लिए है। 61 + 20 = 81

अब आपकी बारी: 7 × 6

42 का इकाई अंक रखिए। फ़्रेम साफ़ है और मनके अब चलते हैं। सात गुना छह 42 होता है; उसका इकाई अंक इकाई वाली छड़ पर रखिए ताकि फ़्रेम 2 पढ़े, और दहाई अंक अगले क़दम के लिए छोड़ दीजिए। अगर आपने एक ही बार में 42 बना दिया तो यह क़दम चूक जाएगा, और यह जान-बूझकर है — यह बँटवारा ही साबित करता है कि दोनों अंक दो अलग छड़ों पर गए, न कि पहाड़े से पढ़ लिए गए। 0 + 2 = 2

अब दहाई अंक, एक छड़ बाईं ओर। फ़्रेम 2 पढ़ रहा है। दहाई वाली छड़ पर चार पृथ्वी मनके ऊपर उठाइए ताकि वह 42 पढ़े और गुणा पूरा हो जाए। इकाई अंक के लिए छड़ 0, दहाई अंक के लिए छड़ 1 — और यह याद रखने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी कि वे गए कहाँ। 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42

अब आपकी बारी: 34 × 2

पहले सबसे बड़ा स्थान। फ़्रेम साफ़ है। 34 का 3 छड़ 1 पर खड़ा है, इसलिए 3 × 2 = 6 की जगह छड़ 1 + 0 = 1 है: दहाई वाली छड़ पर स्वर्ग मनका नीचे और एक पृथ्वी मनका ऊपर, यानी 60। उस 6 को इकाई वाली छड़ पर उतार दीजिए तो आपने 60 नहीं, 6 कह दिया — और यह क़दम वही बता देगा। 30 × 2 = 60

अब गुण्य का इकाई अंक। फ़्रेम 60 पढ़ रहा है। 4 × 2 = 8 की जगह छड़ 0 + 0 = 0 है। फ़्रेम को 68 पढ़वाइए और सवाल पूरा — दो आंशिक गुणनफल, दो छड़ें, कोई टकराव नहीं। 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68

अब आपकी बारी: 27 × 3 का छलकना

60 से शुरू, क्योंकि वह हिस्सा आप कर चुके हैं। पहला आंशिक गुणनफल, 20 × 3 = 60, वही चाल है जो अभी थोड़ी देर पहले 34 × 2 पर आपने की थी, इसलिए फ़्रेम उसे पहले से रखे हुए खुलता है। बचा है 7 × 3 = 21। उसका इकाई अंक इकाई वाली छड़ पर रखिए ताकि फ़्रेम 61 पढ़े। 60 + 1 = 61

और दहाई अंक, भरी हुई छड़ पर। फ़्रेम 61 पढ़ रहा है। 21 का दहाई अंक दहाई वाली छड़ पर जाता है, जो पहले से 6 थामे है: वहाँ दो पृथ्वी मनके ऊपर उठाइए ताकि फ़्रेम 81 पढ़े। अगर वह 63 पढ़े तो आपने वह अंक इकाई वाली छड़ पर जोड़ दिया — अंक सही, छड़ ग़लत, और सोरोबान गुणा में असल में यही एक ग़लती होती है। 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81

खुला खेल

पाँच छड़ें, कोई लक्ष्य नहीं। गुणा पहली ऐसी तकनीक है जिसका जवाब उसके दोनों इनपुट को मिलाकर जितना चौड़ा हो सकता है — 99 × 99 को चार छड़ें चाहिए — इसलिए यह फ़्रेम पाँच छड़ चौड़ा है और यहाँ कुछ भी जाँचा नहीं जाता। कोई सवाल चुनिए, हर आंशिक गुणनफल छड़ i + j पर रखिए, और जोड़ियाँ ख़त्म होते ही फ़्रेम पढ़ लीजिए।