Moltiplicazione con l’abaco: su quale asta finisce ogni prodotto parziale

Un muro diverso

Quattro sull’asta, per tre. Qui non è bloccato niente. L’asta legge 4 e ha palline in avanzo, quindi non è il muro che descrivono le pagine sui complementi, dove a un’asta finiscono le palline libere. Il problema è che 4 × 3 = 12 ha due cifre, quindi la risposta non può stare tutta sull’asta dove sta il 4 — e nessuna regola di addizione ti dice dove va il resto. È a quella domanda che risponde la moltiplicazione. 4 × 3 = ?

La regola, in quattro immagini

Unità per unità finisce sull’asta delle unità. Il 2 sta sull’asta 0 e il moltiplicatore 3 è una cifra sola, quindi tutti e due i numeri di posizione sono zero. Sommali: 0 + 0 = 0, e il 6 va sull’asta 0. Ancora niente di sorprendente — è il caso in cui la regola è d’accordo con quello che avresti indovinato. 2 × 3 = 6

Sposta la cifra di un’asta a sinistra e la risposta la segue. Stesse cifre, stesso prodotto 6, ma adesso il 2 sta sull’asta 1. 1 + 0 = 1, quindi il 6 va sull’asta 1 e il telaio legge 60. Il moltiplicatore non è cambiato e nemmeno la tabellina; è cambiata la posizione del moltiplicando, e la risposta si è spostata con lui. 20 × 3 = 60

E di nuovo, un’asta più a sinistra. Adesso il 2 è sull’asta 2, quindi 2 + 0 = 2 e il 6 si siede sull’asta delle centinaia: 600. Tre telai, un prodotto, tre aste diverse. Non sono mai state le cifre a decidere dove andasse la risposta — sono state le posizioni. 200 × 3 = 600

Un prodotto a due cifre usa due aste. Otto per nove fa 72, e nessuna asta può mostrare 72. La cifra delle unità 2 va sull’asta 0 + 0 = 0, e la cifra delle decine 7 va un’asta più a sinistra, sull’asta 1. È l’unico altro caso che esiste: il prodotto di due cifre singole non supera mai 9 × 9 = 81, quindi è di una cifra o di due, e due cifre vogliono dire l’asta i + j insieme a quella accanto. 8 × 9 = 72

Una cifra per parte: 7 × 6

Si parte da un telaio azzerato. Le palline portano la risposta mentre viene costruita; i due numeri che si moltiplicano restano nella riga sopra. Sia il 7 sia il 6 sono cifre singole che stanno sull’asta 0, quindi tutto quello che produce questo problema appartiene all’asta 0 + 0 = 0 — e, quando non ci sta, all’asta 1. 7 × 6 = ?

Prima piazza la cifra delle unità. Sette per sei fa 42. La sua cifra delle unità è 2, e il 2 va sull’asta 0. Due palline della terra salgono su un’asta vuota e sul telaio non si muove nient’altro. 0 + 2 = 2

Poi la cifra delle decine, un’asta più a sinistra. La cifra delle decine di 42 è 4, e va sull’asta 0 + 1 = 1. Quattro palline della terra salgono sull’asta delle decine e il telaio legge 42. Due aste usate, da un problema che aveva come dati due cifre singole — ed è la prova più breve che esista del fatto che quanto e dove sono due domande separate. 2 + 40 = 42

Due cifre per una: 34 × 2

Due cifre vogliono dire due prodotti parziali. Il 3 sta sull’asta 1 e il 4 sull’asta 0; il moltiplicatore 2 sta sull’asta 0. Restano due coppie da piazzare, (1, 0) e (0, 0), e questo percorso guidato prende sempre per prima la posizione più alta del moltiplicando. Su un soroban vero l’ordine è libero, perché all’addizione non importa in che ordine arrivano le cose; fissarlo qui è quello che rende verificabile ogni passo. 34 × 2 = ?

Tre per due, che finisce sull’asta 1. 3 × 2 = 6 è una cifra sola, quindi gli serve un’asta, e 1 + 0 = 1 la nomina. Pallina del cielo giù e una pallina della terra su sull’asta delle decine, e il telaio legge 60. 30 × 2 = 60

Quattro per due, che finisce sull’asta 0. 4 × 2 = 8, di nuovo una cifra, e 0 + 0 = 0 lo mette sull’asta delle unità. Pallina del cielo giù, tre palline della terra su, e il telaio legge 68. In questo esempio non si è sovrapposto niente — ogni prodotto parziale aveva un’asta tutta sua, che è il caso facile. 60 + 8 = 68

Finire su un’asta già occupata: 27 × 3

L’esempio per cui la regola esiste davvero. Il 2 è sull’asta 1, il 7 sull’asta 0 e il moltiplicatore 3 sull’asta 0. Il secondo dei due prodotti parziali avrà due cifre, quindi vorrà due aste — e una delle due terrà già una cifra arrivata dal primo. 27 × 3 = ?

Prima la posizione più alta: due per tre. 2 × 3 = 6, una cifra, sull’asta 1 + 0 = 1. Il telaio legge 60. Fin qui è di nuovo l’esempio precedente. 20 × 3 = 60

Sette per tre fa 21 — prima la cifra delle unità. La cifra delle unità 1 va sull’asta 0 + 0 = 0. Una pallina della terra sale sull’asta delle unità e il telaio legge 61. Il 2 deve ancora arrivare, e qui non ci appartiene. 60 + 1 = 61

Adesso la cifra delle decine, su un’asta che non è vuota. La cifra delle decine 2 appartiene all’asta 0 + 0 + 1 = 1, che sta già leggendo 6. Aggiungicela: due delle tre palline della terra libere salgono, il 6 diventa 8 e il telaio legge 81. Lascia cadere quel 2 sull’asta delle unità e il telaio legge 63 — una disposizione di palline perfettamente legittima che è semplicemente la risposta sbagliata, ed è l’errore che questa pagina esiste per evitare. 61 + 20 = 81

Tocca a te: 7 × 6

Piazza la cifra delle unità di 42. Il telaio è azzerato e le palline sono attive. Sette per sei fa 42; metti la sua cifra delle unità sull’asta delle unità così che il telaio legga 2, e lascia la cifra delle decine al passo successivo. Se componi 42 in un colpo solo questo passo lo sbagli, ed è voluto — è la divisione in due a dimostrare che le due cifre sono andate su due aste diverse e non sono state lette da una tabellina. 0 + 2 = 2

Adesso la cifra delle decine, un’asta a sinistra. Il telaio legge 2. Alza quattro palline della terra sull’asta delle decine così che legga 42 e la moltiplicazione è finita. Asta 0 per la cifra delle unità, asta 1 per quella delle decine, e non c’è stato niente da ricordare su dove andassero. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42

Tocca a te: 34 × 2

Prima la posizione più alta. Il telaio è azzerato. Il 3 di 34 sta sull’asta 1, quindi 3 × 2 = 6 appartiene all’asta 1 + 0 = 1: pallina del cielo giù e una pallina della terra su sull’asta delle decine, cioè 60. Fai atterrare il 6 sull’asta delle unità e hai scritto 6 invece di 60, e il passo te lo dirà. 30 × 2 = 60

Adesso la cifra delle unità del moltiplicando. Il telaio legge 60. 4 × 2 = 8 appartiene all’asta 0 + 0 = 0. Fai leggere al telaio 68 e il problema è finito — due prodotti parziali, due aste, nessuna sovrapposizione. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68

Tocca a te: lo sconfinamento in 27 × 3

Si parte da 60, perché quella parte l’hai già fatta. Il primo prodotto parziale, 20 × 3 = 60, è la stessa mossa che hai fatto poco fa su 34 × 2, quindi il telaio si apre con lui già a posto. Quello che resta è 7 × 3 = 21. Metti la sua cifra delle unità sull’asta delle unità così che il telaio legga 61. 60 + 1 = 61

E la cifra delle decine, sull’asta già occupata. Il telaio legge 61. La cifra delle decine di 21 va sull’asta delle decine, che tiene già 6: alza lì due palline della terra così che il telaio legga 81. Se legge 63 hai aggiunto quella cifra all’asta delle unità — cifra giusta, asta sbagliata, ed è l’unico vero errore che ha la moltiplicazione sul soroban. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81

Gioco libero

Cinque aste, nessun obiettivo. La moltiplicazione è la prima tecnica la cui risposta può essere larga quanto i suoi due dati messi insieme — 99 × 99 vuole quattro aste — quindi questo telaio ne ha cinque e non si valuta niente. Scegli un problema, piazza ogni prodotto parziale sull’asta i + j, e leggi il telaio quando le coppie finiscono.