การคูณบนลูกคิด: ผลคูณย่อยแต่ละตัวลงที่แกนไหน

กำแพงคนละแบบ

สี่บนแกน คูณสาม ตรงนี้ไม่มีอะไรติดขัด แกนอ่านได้ 4 และยังมีเม็ดเหลือเฟือ นี่จึงไม่ใช่กำแพงแบบที่หน้าจำนวนเติมเต็มพูดถึง ซึ่งเป็นตอนที่แกนหมดเม็ดว่าง ปัญหาคือ 4 × 3 = 12 มีสองหลัก คำตอบจึงเป็นไปไม่ได้เลยที่จะอยู่ทั้งหมดบนแกนที่เลข 4 นั่งอยู่ — และไม่มีกฎการบวกข้อไหนบอกว่าส่วนที่เหลือไปอยู่ที่ใด การคูณคือคำตอบของคำถามข้อนั้น 4 × 3 = ?

กฎข้อนี้ ในรูปสี่ภาพ

หน่วยคูณหน่วย ลงที่แกนหน่วย เลข 2 อยู่บนแกน 0 และตัวคูณ 3 เป็นเลขหลักเดียว เลขประจำแกนของทั้งคู่จึงเป็นศูนย์ บวกกัน: 0 + 0 = 0 แล้วเลข 6 ก็ไปลงที่แกน 0 ยังไม่มีอะไรน่าประหลาดใจ — นี่คือกรณีที่กฎตรงกับสิ่งที่คุณน่าจะเดาไว้อยู่แล้ว 2 × 3 = 6

เลื่อนตัวเลขไปทางซ้ายหนึ่งแกน คำตอบก็ตามไป ตัวเลขชุดเดิม ผลคูณ 6 เท่าเดิม แต่ตอนนี้เลข 2 อยู่บนแกน 1 ได้ 1 + 0 = 1 เลข 6 จึงไปลงที่แกน 1 และหน้าลูกคิดอ่านได้ 60 ตัวคูณไม่ได้เปลี่ยน สูตรคูณก็ไม่ได้เปลี่ยน สิ่งที่เปลี่ยนคือหลักของตัวตั้ง และคำตอบก็ย้ายตามไป 20 × 3 = 60

แล้วอีกครั้ง ถัดไปทางซ้ายอีกหนึ่งแกน ตอนนี้เลข 2 อยู่บนแกน 2 จึงได้ 2 + 0 = 2 และเลข 6 ไปนั่งอยู่บนแกนร้อย: 600 สามหน้าลูกคิด ผลคูณเดียว แกนสามแกนที่ต่างกัน ตัวเลขไม่เคยเป็นตัวตัดสินว่าคำตอบไปอยู่ที่ใด — หลักต่างหากที่ตัดสิน 200 × 3 = 600

ผลคูณสองหลักใช้สองแกน แปดคูณเก้าได้ 72 และไม่มีแกนไหนแสดงค่า 72 ได้ หลักหน่วยคือ 2 ไปลงที่แกน 0 + 0 = 0 ส่วนหลักสิบคือ 7 ไปลงถัดไปทางซ้ายอีกหนึ่งแกน คือแกน 1 นั่นคือกรณีอื่นเพียงกรณีเดียวที่มี ผลคูณของเลขหลักเดียวสองตัวไม่เคยเกิน 9 × 9 = 81 มันจึงมีหนึ่งหลักหรือสองหลัก และสองหลักหมายถึงแกน i + j พร้อมกับแกนที่อยู่ติดกัน 8 × 9 = 72

หลักเดียวทั้งคู่: 7 × 6

เริ่มจากหน้าลูกคิดที่ล้างแล้ว เม็ดลูกคิดแบกคำตอบที่กำลังก่อตัวขึ้น ส่วนจำนวนสองจำนวนที่กำลังคูณกันอยู่ในบรรทัดด้านบน ทั้ง 7 และ 6 เป็นเลขหลักเดียวที่อยู่บนแกน 0 ทุกอย่างที่โจทย์นี้ผลิตออกมาจึงอยู่ที่แกน 0 + 0 = 0 — และเมื่อลงไม่พอ ก็ไปอยู่ที่แกน 1 7 × 6 = ?

วางหลักหน่วยก่อน เจ็ดคูณหกได้ 42 หลักหน่วยของมันคือ 2 และ 2 ไปลงที่แกน 0 เม็ดล่างสองเม็ดขึ้นบนแกนที่ว่างอยู่ และไม่มีอะไรอื่นบนหน้าลูกคิดขยับ 0 + 2 = 2

จากนั้นคือหลักสิบ ถัดไปทางซ้ายหนึ่งแกน หลักสิบของ 42 คือ 4 และมันไปลงที่แกน 0 + 1 = 1 เม็ดล่างสี่เม็ดขึ้นบนแกนสิบ และหน้าลูกคิดอ่านได้ 42 ใช้ไปสองแกน จากโจทย์ที่ตัวตั้งและตัวคูณเป็นเลขหลักเดียวทั้งคู่ — นี่คือหลักฐานที่สั้นที่สุดว่า "เท่าไร" กับ "ที่ไหน" เป็นคนละคำถามกัน 2 + 40 = 42

สองหลักคูณหลักเดียว: 34 × 2

สองหลักหมายถึงผลคูณย่อยสองตัว เลข 3 อยู่บนแกน 1 และเลข 4 อยู่บนแกน 0 ส่วนตัวคูณ 2 อยู่บนแกน 0 จึงได้คู่ที่ต้องวางสองคู่ คือ (1, 0) และ (0, 0) และบทฝึกนี้เอาหลักสูงสุดของตัวตั้งก่อนเสมอ บนโซโรบันจริงลำดับเป็นอิสระ เพราะการบวกไม่สนใจว่าอะไรมาถึงก่อนหลัง การตรึงลำดับไว้ตรงนี้ต่างหากที่ทำให้ตรวจได้ทีละขั้น 34 × 2 = ?

สามคูณสอง ลงที่แกน 1 3 × 2 = 6 เป็นเลขหลักเดียว จึงใช้แกนเดียว และ 1 + 0 = 1 คือแกนนั้น ดึงเม็ดบนลงชิดคานและดันเม็ดล่างขึ้นหนึ่งเม็ดบนแกนสิบ หน้าลูกคิดก็อ่านได้ 60 30 × 2 = 60

สี่คูณสอง ลงที่แกน 0 4 × 2 = 8 ก็เป็นหลักเดียวอีกเช่นกัน และ 0 + 0 = 0 พามันไปที่แกนหน่วย ดึงเม็ดบนลงชิดคาน ดันเม็ดล่างขึ้นสามเม็ด หน้าลูกคิดอ่านได้ 68 ตัวอย่างนี้ไม่มีอะไรทับกัน — ผลคูณย่อยแต่ละตัวมีแกนเป็นของตัวเอง ซึ่งเป็นกรณีที่ง่าย 60 + 8 = 68

ลงบนแกนที่ไม่ว่าง: 27 × 3

ตัวอย่างที่กฎข้อนี้มีไว้เพื่อมันจริง ๆ เลข 2 อยู่บนแกน 1 เลข 7 อยู่บนแกน 0 และตัวคูณ 3 อยู่บนแกน 0 ผลคูณย่อยตัวที่สองจะมีสองหลัก จึงต้องใช้สองแกน — และหนึ่งในนั้นจะมีตัวเลขจากผลคูณย่อยตัวแรกอยู่ก่อนแล้ว 27 × 3 = ?

หลักสูงสุดก่อน: สองคูณสาม 2 × 3 = 6 หลักเดียว ลงที่แกน 1 + 0 = 1 หน้าลูกคิดอ่านได้ 60 ถึงตรงนี้ก็ยังเป็นตัวอย่างที่แล้วอีกครั้ง 20 × 3 = 60

เจ็ดคูณสามได้ 21 — หลักหน่วยก่อน หลักหน่วยคือ 1 ไปลงที่แกน 0 + 0 = 0 เม็ดล่างหนึ่งเม็ดขึ้นบนแกนหน่วย และหน้าลูกคิดอ่านได้ 61 เลข 2 ยังไม่มา และมันไม่ได้อยู่ตรงนี้ 60 + 1 = 61

ทีนี้ถึงหลักสิบ ลงบนแกนที่ไม่ว่าง หลักสิบคือ 2 ต้องไปอยู่ที่แกน 0 + 0 + 1 = 1 ซึ่งอ่านได้ 6 อยู่แล้ว บวกมันเข้าไปตรงนั้น: เม็ดล่างที่ว่างอยู่สามเม็ด ขึ้นไปสองเม็ด เลข 6 กลายเป็น 8 และหน้าลูกคิดอ่านได้ 81 ถ้าเอาเลข 2 ตัวนั้นไปวางบนแกนหน่วยแทน หน้าลูกคิดจะอ่านได้ 63 — เป็นการจัดเรียงเม็ดลูกคิดที่ถูกต้องตามกติกาทุกประการ แต่เป็นคำตอบที่ผิด และเป็นความผิดพลาดที่หน้านี้มีไว้เพื่อป้องกัน 61 + 20 = 81

ตาคุณแล้ว: 7 × 6

วางหลักหน่วยของ 42 หน้าลูกคิดถูกล้างแล้ว และเม็ดลูกคิดพร้อมให้ขยับ เจ็ดคูณหกได้ 42 ให้วางหลักหน่วยของมันบนแกนหน่วย ให้หน้าลูกคิดอ่านได้ 2 แล้วเก็บหลักสิบไว้ทำในขั้นถัดไป ถ้าคุณตั้ง 42 รวดเดียว ขั้นนี้จะไม่ผ่าน และนั่นเป็นความตั้งใจ — การแยกขั้นนี่เองที่พิสูจน์ว่าตัวเลขสองหลักไปลงบนแกนคนละแกน ไม่ใช่แค่ท่องมาจากสูตรคูณ 0 + 2 = 2

ทีนี้ถึงหลักสิบ ถัดไปทางซ้ายหนึ่งแกน หน้าลูกคิดอ่านได้ 2 ดันเม็ดล่างขึ้นสี่เม็ดบนแกนสิบ ให้อ่านได้ 42 การคูณก็เสร็จ แกน 0 สำหรับหลักหน่วย แกน 1 สำหรับหลักสิบ และไม่ต้องท่องจำอะไรเลยว่าแต่ละตัวไปอยู่ที่ไหน 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42

ตาคุณแล้ว: 34 × 2

หลักสูงสุดก่อน หน้าลูกคิดถูกล้างแล้ว เลข 3 ของ 34 อยู่บนแกน 1 ดังนั้น 3 × 2 = 6 ต้องไปอยู่ที่แกน 1 + 0 = 1 คือดึงเม็ดบนลงชิดคานและดันเม็ดล่างขึ้นหนึ่งเม็ดบนแกนสิบ ได้ 60 ถ้าเอาเลข 6 ไปลงบนแกนหน่วยแทน คุณก็ได้ 6 ไม่ใช่ 60 และขั้นนี้จะบอกคุณเอง 30 × 2 = 60

ทีนี้ถึงหลักหน่วยของตัวตั้ง หน้าลูกคิดอ่านได้ 60 ส่วน 4 × 2 = 8 ต้องไปอยู่ที่แกน 0 + 0 = 0 ทำให้หน้าลูกคิดอ่านได้ 68 แล้วโจทย์ก็จบ — ผลคูณย่อยสองตัว สองแกน ไม่ทับกัน 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68

ตาคุณแล้ว: ส่วนที่ล้นแกนใน 27 × 3

เริ่มที่ 60 เพราะคุณทำส่วนนั้นไปแล้ว ผลคูณย่อยตัวแรก 20 × 3 = 60 คือการเคลื่อนไหวเดียวกับที่คุณเพิ่งทำใน 34 × 2 หน้าลูกคิดจึงเปิดมาโดยมีมันอยู่แล้ว ที่เหลือคือ 7 × 3 = 21 วางหลักหน่วยของมันบนแกนหน่วย ให้หน้าลูกคิดอ่านได้ 61 60 + 1 = 61

แล้วก็หลักสิบ ลงบนแกนที่ไม่ว่าง หน้าลูกคิดอ่านได้ 61 หลักสิบของ 21 ไปลงที่แกนสิบ ซึ่งถือค่า 6 อยู่แล้ว ดันเม็ดล่างขึ้นสองเม็ดตรงนั้น ให้หน้าลูกคิดอ่านได้ 81 ถ้าอ่านได้ 63 แสดงว่าคุณบวกตัวเลขนั้นเข้าที่แกนหน่วย — ตัวเลขถูก แต่แกนผิด และนั่นคือความผิดพลาดเพียงอย่างเดียวที่การคูณบนโซโรบันมีจริง ๆ 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81

ลองเล่นอิสระ

ห้าแกน ไม่มีเป้าหมาย การคูณเป็นเทคนิคแรกที่คำตอบกว้างได้เท่ากับจำนวนทั้งสองรวมกัน — 99 × 99 ต้องใช้สี่แกน — หน้าลูกคิดนี้จึงกว้างห้าแกน และไม่มีการตรวจให้คะแนน เลือกโจทย์สักข้อ วางผลคูณย่อยแต่ละตัวลงที่แกน i + j แล้วอ่านหน้าลูกคิดเมื่อวางครบทุกคู่