桁の4を、3倍します。 ここでは何も詰まっていません。桁は4で、珠にはまだ余裕がありますから、補数のページが描いていた「動かせる珠がなくなる」壁ではありません。困るのは、4 × 3 = 12 が2桁だということです。答えの全部が、4の立っている桁に収まるはずがありません。しかも、残りがどこへ行くのかは、たし算のどの決まりも教えてくれません。かけ算が答えるのは、その1つの問いです。 4 × 3 = ?
対話型の実習ガイド · 上級A
そろばんのかけ算 — 部分積はどの桁に着くか
桁に右から番号をつけます — 一の位が 0、十の位が 1、百の位が 2。桁 i に立つ数字と桁 j に立つ数字をかけると、答えは桁 i + j に着きます。一の位の数字はそこに、十の位の数字はその1本左に。この決まり1つが、そろばんのかけ算のすべてです。この実習ガイドでは、それを4枚の絵で描き、3つの問題で解いてみせ、そのあと珠をお渡しします。9章、22ステップ、時間は計りません。
このページがお願いすること
これはドリルのプリントでも、記事でもありません。どの章も、本物どおりに動くそろばんの盤面と、その横に置かれた説明でできています。そして最後の3分の1で珠をお渡しします。パネルが数を示し、あなたが珠を動かし、盤面がその数になっているかどうかをパネルが教えてくれます。どの問題も1つではなく2つのステップに分けて採点しますから、もう分かっている答えをそのまま置くと前半で不合格になります。この分け方こそが、積の2つの数字が2本の別々の桁へ行くことを見せる仕掛けです。
かけ算は、9段のレベルの7段目にあたる上級Aが扱う内容です。10の補数がまだ考えなくてもできるようになっていなければ、先に大きい友だちの実習ガイドをやってください。部分積は、すでに数字が乗っている桁に着くことがふつうにあり、そのあとの手直しは繰り上がりであって、新しいものではありません。
そろばんでかけ算をするには？
まず、どの桁にも位の番号をつけます。一の位が 0、十の位が 1、百の位が 2、というように。次に、1つ目の数の数字と2つ目の数の数字を1つずつ取り出してかけ合わせ、その結果を桁 i + j の位置で盤面に足します。i と j は、その2つの数字が立っている位の番号です。1桁どうしの積はいちばん大きくても81ですから、収まるのは桁1本か2本です。一の位の数字は桁 i + j に、十の位の数字はそのすぐ左の桁に置きます。すべての組み合わせを置き終えたとき、盤面が答えです。
部分積がどこに着くかを決めるのは、2つの数字が立つ位であって、数字の大きさではありません。この技法が付け足すのは、それだけです。桁にすでに乗っているものへ足す作業は、ふつうのたし算です。小さい友だちと大きい友だちが、そのままの形で受け持ちます。実物のそろばんでは、かけ合わせる2つの数を盤面の左側に置いておきますが、ここの盤面は組み立て中の答えだけを持ち、問題はその横の行に置いてあります。
自分で珠を動かす
盤面は 4 を表しています。
レッスンの全文
第1部 — 答えは、始まった場所にとどまりません
一の位×一の位は、一の位に着きます。 2 は桁 0 に立ち、かける数の 3 は1桁ですから、位の番号はどちらも 0 です。足すと 0 + 0 = 0 で、6 は桁 0 に入ります。まだ驚くところはありません。ここは、決まりが直感どおりになる場合です。 2 × 3 = 6
数字を1本左へ動かすと、答えもついてきます。 数字も、積の 6 も同じですが、今度は 2 が桁 1 に立っています。1 + 0 = 1 ですから 6 は桁 1 に入り、盤面は60です。かける数も九九も変わっていません。変わったのはかけられる数の位で、答えはそれについて動きました。 20 × 3 = 60
もう1本、さらに左へ。 今度は 2 が桁 2 にありますから、2 + 0 = 2 で、6 は百の位に座ります。600 です。盤面3枚、積は1つ、着いた桁は3本とも別。答えの行き先を決めたのは数字ではなく、位でした。 200 × 3 = 600
2桁の積は、桁を2本使います。 8 × 9 は 72 で、72 を表せる桁はありません。一の位の数字 2 は桁 0 + 0 = 0 に、十の位の数字 7 はその1本左、桁 1 に入ります。あり得る場合は、これでもう全部です。1桁どうしの積は 9 × 9 = 81 を超えませんから、1桁か2桁のどちらか。2桁なら、桁 i + j と、そのとなりの桁を使います。 8 × 9 = 72
第2部 — 3回解いて、あふれる例は最後に
ご破算の盤面から始めます。 珠は、組み立て中の答えを持ちます。かけ合わせる2つの数は、その上の行に置いたままです。7 も 6 も桁 0 に立つ1桁の数ですから、この問題が生むものはすべて桁 0 + 0 = 0 のもの — そして収まらないぶんは、桁 1 のものです。 7 × 6 = ?
まず一の位の数字を置きます。 7 × 6 は 42。その一の位の数字は 2 で、2 は桁 0 に入ります。空の桁で一珠が2つ上がり、盤面のほかの場所は何も動きません。 0 + 2 = 2
次に十の位の数字を、1本左へ。 42 の十の位の数字は 4 で、桁 0 + 1 = 1 に入ります。十の位で一珠が4つ上がり、盤面は42です。入れた数はどちらも1桁なのに、桁は2本使いました。「いくつか」と「どこか」が別の問いであることの、いちばん短い証明です。 2 + 40 = 42
2桁なら、部分積は2つです。 3 は桁 1 に、4 は桁 0 に立ち、かける数の 2 は桁 0 に立ちます。置くべき組み合わせは (1, 0) と (0, 0) の2つで、この実習ガイドでは必ず、かけられる数の大きい位から先に取ります。実物のそろばんでは順番は自由です。たし算は、ものが届く順番を気にしないからです。ここで順番を決めているのは、1ステップずつ確かめられるようにするためです。 34 × 2 = ?
3 × 2 は、桁 1 に着きます。 3 × 2 = 6 は1桁ですから、桁は1本で足り、その桁を指すのが 1 + 0 = 1 です。十の位で五珠を下ろし、一珠を1つ上げると、盤面は60です。 30 × 2 = 60
4 × 2 は、桁 0 に着きます。 4 × 2 = 8 も1桁で、0 + 0 = 0 が一の位を指します。五珠を下ろし、一珠を3つ上げると、盤面は68です。この例では重なりが起きませんでした。どの部分積にも自分の桁がある、いちばんやさしい場合です。 60 + 8 = 68
決まりが本当に必要になる例です。 2 は桁 1、7 は桁 0、かける数の 3 は桁 0 にあります。2つある部分積のうち2つ目は2桁になりますから、桁を2本欲しがります。そしてそのうち1本には、1つ目の部分積の数字がすでに乗っています。 27 × 3 = ?
大きい位から先に — 2 × 3。 2 × 3 = 6 は1桁で、桁 1 + 0 = 1 に入ります。盤面は60です。ここまでは、前の例と同じです。 20 × 3 = 60
7 × 3 は 21 — まず一の位の数字から。 一の位の数字 1 は、桁 0 + 0 = 0 に入ります。一の位で一珠が1つ上がり、盤面は61です。2 はまだこれからで、その居場所はここではありません。 60 + 1 = 61
次に十の位の数字を、空ではない桁へ。 十の位の数字 2 が入るのは桁 0 + 0 + 1 = 1 で、そこはすでに 6 を示しています。そこへ足します。空いている一珠3つのうち2つが上がり、6 は 8 になって、盤面は81です。その 2 を代わりに一の位へ落とすと、盤面は63 — 珠の並びとしてはまったく正しく、ただ答えが違うだけ。このページがあるのは、この間違いを防ぐためです。 61 + 20 = 81
第3部 — やってみよう
42 の一の位の数字を置きます。 盤面はご破算で、珠は動かせる状態です。7 × 6 は 42。その一の位の数字を一の位に置いて、盤面を2にしてください。十の位の数字は、次のステップに取っておきます。42 をいっぺんに置くと、ここは不合格になります。それはわざとです。この分け方こそが、2つの数字が九九から読み上げられたのではなく、2本の別々の桁へ行ったことの証明だからです。 0 + 2 = 2
次に十の位の数字を、1本左へ。 盤面は2です。十の位で一珠を4つ上げて42にすれば、かけ算は終わりです。一の位の数字は桁 0、十の位の数字は桁 1。行き先については、何も覚える必要がありませんでした。 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42
大きい位から先に。 盤面はご破算です。34 の 3 は桁 1 に立ちますから、3 × 2 = 6 が入るのは桁 1 + 0 = 1。十の位で五珠を下ろし、一珠を1つ上げて、60 になります。6 を代わりに一の位へ着けると、60 ではなく 6 を置いたことになり、このステップはそう告げます。 30 × 2 = 60
次に、かけられる数の一の位の数字です。 盤面は60です。4 × 2 = 8 が入るのは桁 0 + 0 = 0。盤面を68にすれば、この問題は終わりです。部分積が2つ、桁が2本、重なりなし。 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68
60 から始めます。そこはもう終えているからです。 1つ目の部分積 20 × 3 = 60 は、さきほど 34 × 2 でした動きとまったく同じですから、盤面は最初からその状態で開きます。残っているのは 7 × 3 = 21 です。その一の位の数字を一の位に置いて、盤面を61にしてください。 60 + 1 = 61
そして十の位の数字を、ふさがった桁へ。 盤面は61です。21 の十の位の数字は、すでに 6 が乗っている十の位に入ります。そこで一珠を2つ上げて、盤面を81にしてください。63 になったなら、その数字を一の位に足したということです。数字は合っていて、桁が違う — そろばんのかけ算にある間違いは、本当にこれだけです。 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81
5桁、目標なし。 かけ算は、答えの幅が入れた2つの数を合わせただけになり得る最初の技法です — 99 × 99 には桁が4本要ります — ですからこの盤面は5桁分の幅があり、採点はしません。問題を1つ選び、部分積を桁 i + j に置いていって、組み合わせが尽きたら盤面を読んでください。
このあとは
同じ技法を扱う、役割の違う4つのページです。このページは実習ガイドでした。ほかはこちらで、どれもこのページの代わりにはなりません。
ほかの実習ガイド
技法は5つ、段は1つながり。どれも自分で動かす珠がついた実習ガイドで、学ぶ人が出会う順に並べています。