أربعة على العمود، مضروبة في ثلاثة. لا شيء عالق هنا. العمود يقرأ 4 وفيه خرزات فائضة، فليس هذا الجدار الذي تصفه صفحتا المكمّلات، حيث تنفد خرزات العمود الحرّة. المشكلة أن 4 × 3 = 12 من خانتين، فلا يمكن للجواب أن يسكن كلّه على العمود الذي تجلس عليه الـ 4 — ولا توجد قاعدة جمع تخبرك إلى أين يذهب باقيه. الضرب يجيب عن هذا السؤال الواحد. 4 × 3 = ?
جولة تفاعليّة · متقدّم أ
الضرب على العدّاد: على أيّ عمود يحطّ كل ناتج جزئي
رقّم الأعمدة من اليمين — 0 للآحاد، و1 للعشرات، و2 للمئات. اضرب الرقم الواقف على العمود i بالرقم الواقف على العمود j فيحطّ الجواب على العمود i + j: آحاده هناك، وعشراته على العمود الذي يليه يساراً. تلك القاعدة الواحدة هي كلّ ضرب السوروبان. ترسمها هذه الجولة في أربع صور، وتحلّها عبر ثلاث مسائل، ثم تسلّمك الخرزات. تسعة فصول، واثنتان وعشرون خطوة، وبلا وقت يُحسب.
ما تطلبه منك هذه الصفحة
ليست هذه ورقة تمارين ولا مقالاً. كل فصل إطارُ عدّاد حقيقيّ وبجانبه شرح، والثلث الأخير يسلّمك الخرزات: تسمّي اللوحة عدداً، وتحرّك أنت الخرزات، وتخبرك هل قرأه الإطار. وكل مسألة محلولة تُقيَّم خطوتين منفصلتين لا خطوةً واحدة، فتكوينُ الجواب الذي عرفته سلفاً يُسقط النصف الأول — وهذا الفصل بين الخطوتين هو ما يُظهر رقمَي الناتج وهما يذهبان إلى عمودين مختلفين.
الضرب هو موضوع «متقدّم أ»، الدرجة السابعة من السلّم ذي المستويات التسعة. اعمل على جولة الأصدقاء الكبار أولاً إن لم تكن مكمّلات 10 تلقائيّة: فالناتج الجزئي يحطّ مراراً على عمود يحمل رقماً أصلاً، والتصحيح الذي يتبع ذلك هو الحمل، لا شيء جديد.
كيف تضرب على السوروبان؟
أعطِ كل عمود رقم منزلته: 0 لعمود الآحاد، و1 للعشرات، و2 للمئات، وهكذا. خذ كل رقم من العدد الأول وكل رقم من الثاني، واضربهما، واجمع الناتج على الإطار عند العمود i + j، حيث i وj هما رقما المنزلتين. ناتج ضرب رقمين لا يتجاوز 81، فيتّسع له عمود أو عمودان: آحاده تذهب إلى العمود i + j وعشراته إلى العمود الذي على يساره مباشرةً. وحين يوضع كل زوج، يكون الإطار هو الجواب.
موضعُ حطّ الناتج الجزئي تقرّره منزلتا الرقمين، لا حجمهما أبداً، وهذا هو الشيء الوحيد الذي تضيفه هذه التقنية. أما جمعه على ما يحمله العمود أصلاً فجمعٌ عاديّ — يؤدّيه الأصدقاء الصغار والكبار كما هم دون تغيير. وعلى سوروبان ماديّ يُركن العددان المضروبان على يسار الإطار؛ أما الإطارات هنا فتحمل الجواب وحده وهو يُبنى، وتبقى المسألة في السطر بجانبها.
حرّك الخرزات بنفسك
الإطار يعرض 4.
الدرس كاملاً، مكتوباً
الجزء الأول — الجواب لا يبقى حيث بدأ
آحاد في آحاد تحطّ على عمود الآحاد. الـ 2 واقفة على العمود 0 والمضروب فيه 3 رقم واحد، فرقما المنزلتين كلاهما صفر. اجمعهما: 0 + 0 = 0، فتذهب الـ 6 إلى العمود 0. لا مفاجأة بعد — هذه هي الحالة التي توافق فيها القاعدة ما كنت ستخمّنه. 2 × 3 = 6
انقل الرقم عموداً واحداً يساراً يتبعك الجواب. الرقمان نفساهما والناتج 6 نفسه، لكن الـ 2 تقف الآن على العمود 1. و1 + 0 = 1، فتذهب الـ 6 إلى العمود 1 ويقرأ الإطار 60. لم يتغيّر المضروب فيه ولا جدول الضرب؛ الذي تغيّر منزلة المضروب، فانتقل الجواب معها. 20 × 3 = 60
ومرّة أخرى، عموداً آخر يساراً. الـ 2 على العمود 2 الآن، فـ 2 + 0 = 2 وتجلس الـ 6 على عمود المئات: 600. ثلاثة إطارات، وناتج واحد، وثلاثة أعمدة مختلفة. الأرقام لم تقرّر يوماً أين يذهب الجواب — المنازل هي التي قرّرت. 200 × 3 = 600
الناتج من خانتين يستعمل عمودين. ثماني تسعات تساوي 72، ولا عمود يستطيع عرض 72. رقم الآحاد 2 يذهب إلى العمود 0 + 0 = 0، ورقم العشرات 7 يذهب عموداً آخر يساراً، إلى العمود 1. وهذه هي الحالة الأخرى الوحيدة: ناتج ضرب رقمين مفردين لا يتجاوز أبداً 9 × 9 = 81، فهو خانة أو خانتان، والخانتان تعنيان العمود i + j ومعه العمود المجاور له. 8 × 9 = 72
الجزء الثاني — محلولة ثلاث مرّات، والفيض آخرها
ابدأ من إطار مُصفَّر. الخرزات تحمل الجواب وهو يُبنى؛ والعددان المضروبان يبقيان في السطر فوقها. كلٌّ من 7 و6 رقم مفرد واقف على العمود 0، فكلّ ما تنتجه هذه المسألة يخصّ العمود 0 + 0 = 0 — وحين لا يتّسع له، العمود 1. 7 × 6 = ?
ضع رقم الآحاد أولاً. سبع ستّات تساوي 42. رقم آحادها 2، والـ 2 تذهب إلى العمود 0. ترتفع خرزتا أرض على عمود فارغ ولا يتحرّك في الإطار شيء آخر. 0 + 2 = 2
ثم رقم العشرات، عموداً واحداً يساراً. رقم عشرات الـ 42 هو 4، ويذهب إلى العمود 0 + 1 = 1. ترتفع أربع خرزات أرض على عمود العشرات فيقرأ الإطار 42. عمودان مستعمَلان في مسألة مدخلاها كلاهما رقم مفرد — وهذا أقصر برهان على أن «كم» و«أين» سؤالان منفصلان. 2 + 40 = 42
خانتان تعنيان ناتجين جزئيين. الـ 3 واقفة على العمود 1 والـ 4 على العمود 0؛ والمضروب فيه 2 واقف على العمود 0. هذا يعطيك زوجين تضعهما، (1, 0) و(0, 0)، وهذه الجولة تبدأ دائماً بأعلى منزلة في المضروب. على سوروبان حقيقيّ الترتيب حرّ، لأن الجمع لا يبالي بترتيب وصول الأشياء؛ وتثبيته هنا هو ما يجعل كل خطوة قابلة للتحقّق. 34 × 2 = ?
ثلاثة في اثنين، تحطّ على العمود 1. 3 × 2 = 6 رقم مفرد، فيحتاج عموداً واحداً، و1 + 0 = 1 يسمّيه. خرزة السماء نزولاً وخرزة أرض واحدة صعوداً على عمود العشرات، فيقرأ الإطار 60. 30 × 2 = 60
أربعة في اثنين، تحطّ على العمود 0. 4 × 2 = 8، رقم مفرد مرّة أخرى، و0 + 0 = 0 يضعه على عمود الآحاد. خرزة السماء نزولاً، وثلاث خرزات أرض صعوداً، فيقرأ الإطار 68. لا شيء تداخل في هذا المثال — كان لكل ناتج جزئي عمودُه وحده، وهذه هي الحالة السهلة. 60 + 8 = 68
المثال الذي وُجدت القاعدة له فعلاً. الـ 2 على العمود 1، والـ 7 على العمود 0، والمضروب فيه 3 على العمود 0. ثاني الناتجين الجزئيين سيكون من خانتين، فسيريد عمودين — وأحدهما سيكون حاملاً أصلاً رقماً من الناتج الأول. 27 × 3 = ?
أعلى منزلة أولاً: اثنان في ثلاثة. 2 × 3 = 6، خانة واحدة، على العمود 1 + 0 = 1. يقرأ الإطار 60. حتى الآن هذا هو المثال السابق من جديد. 20 × 3 = 60
سبعة في ثلاثة تساوي 21 — رقم الآحاد أولاً. رقم الآحاد 1 يذهب إلى العمود 0 + 0 = 0. ترتفع خرزة أرض واحدة على عمود الآحاد فيقرأ الإطار 61. والـ 2 لم تأتِ بعد، وليس هذا مكانها. 60 + 1 = 61
الآن رقم العشرات، على عمود غير فارغ. رقم العشرات 2 يخصّ العمود 0 + 0 + 1 = 1، وهو يقرأ 6 أصلاً. اجمعه هناك: ترتفع خرزتان من خرزات الأرض الثلاث الحرّة، فتتحوّل 6 إلى 8، ويقرأ الإطار 81. أنزل تلك الـ 2 على عمود الآحاد بدلاً من ذلك فيقرأ الإطار 63 — ترتيبُ خرزات صحيح تماماً في ذاته لكنه ببساطة الجواب الخطأ، وهو الغلط الذي وُجدت هذه الصفحة لمنعه. 61 + 20 = 81
الجزء الثالث — دورك
ضع رقم آحاد الـ 42. الإطار مُصفَّر والخرزات حيّة. سبع ستّات تساوي 42؛ ضع رقم آحادها على عمود الآحاد حتى يقرأ الإطار 2، ودَع رقم العشرات للخطوة التالية. إن كوّنت 42 دفعةً واحدة أخطأت هذه الخطوة، وذلك مقصود — فالفصل بين الخطوتين هو ما يثبت أن الرقمين ذهبا إلى عمودين مختلفين لا أنهما قُرئا من جدول ضرب. 0 + 2 = 2
الآن رقم العشرات، عموداً واحداً يساراً. الإطار يقرأ 2. ارفع أربع خرزات أرض على عمود العشرات حتى يقرأ 42 فينتهي الضرب. العمود 0 لرقم الآحاد، والعمود 1 لرقم العشرات، ولم يلزم حفظ شيء عن وجهتيهما. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42
أعلى منزلة أولاً. الإطار مُصفَّر. الـ 3 في 34 واقفة على العمود 1، فالناتج 3 × 2 = 6 يخصّ العمود 1 + 0 = 1: خرزة السماء نزولاً وخرزة أرض واحدة صعوداً على عمود العشرات، فيصير 60. أنزِل الـ 6 على عمود الآحاد بدلاً من ذلك تكن قد سجّلت 6 لا 60، وستقولها الخطوة. 30 × 2 = 60
الآن رقم آحاد المضروب. الإطار يقرأ 60. والناتج 4 × 2 = 8 يخصّ العمود 0 + 0 = 0. اجعل الإطار يقرأ 68 فتنتهي المسألة — ناتجان جزئيان، وعمودان، وبلا تداخل. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68
البداية من 60، لأنك أنجزت ذلك الجزء أصلاً. الناتج الجزئي الأول، 20 × 3 = 60، هو الحركة نفسها التي أجريتها قبل لحظة في 34 × 2، فيفتح الإطار وهو موضوع سلفاً. الباقي هو 7 × 3 = 21. ضع رقم آحاده على عمود الآحاد حتى يقرأ الإطار 61. 60 + 1 = 61
ورقم العشرات، على العمود المشغول. الإطار يقرأ 61. رقم عشرات الـ 21 يذهب إلى عمود العشرات، الحامل 6 أصلاً: ارفع خرزتَي أرض هناك حتى يقرأ الإطار 81. فإن قرأ 63 فقد جمعت ذلك الرقم على عمود الآحاد — رقم صحيح على عمود خاطئ، وهذا هو الغلط الوحيد الذي يملكه ضرب السوروبان فعلاً. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81
خمسة أعمدة، وبلا هدف. الضرب أول تقنية يمكن لجوابها أن يكون بعرض مدخلَيه معاً — فالمسألة 99 × 99 تحتاج أربعة أعمدة — لذا هذا الإطار بعرض خمسة ولا شيء يُقيَّم. اختر مسألة، وضع كل ناتج جزئي على العمود i + j، واقرأ الإطار حين تنفد الأزواج.
إلى أين تمضي من هنا
التقنية نفسها، وأربع مهامّ مختلفة. كانت هذه الصفحة هي الجولة؛ وهذه بقيّة المواضع، ولا شيء منها يحلّ محلّها.
الجولات الأخرى
خمس تقنيات على سلّم واحد. لكلٍّ منها جولتها الخاصة وخرزاتها التي تتحرّك، وهي مرتّبة هنا بالترتيب الذي يلقاها به المتعلّم.