ضرب با چرتکه: هر حاصل‌ضرب جزئی روی کدام میله می‌نشیند

دیواری از جنس دیگر

چهار روی میله، ضرب در سه. اینجا هیچ چیز گیر نکرده است. میله 4 را نشان می‌دهد و مهرهٔ آزاد هم دارد، پس این آن دیواری نیست که صفحه‌های مکمل توصیف می‌کنند، جایی که مهره‌های آزاد یک میله تمام می‌شود. مشکل این است که 4 × 3 = 12 دو رقم دارد، پس محال است تمام پاسخ روی همان میله‌ای جا شود که 4 روی آن نشسته است — و هیچ قاعدهٔ جمعی به شما نمی‌گوید باقی آن کجا می‌رود. ضرب دقیقاً همین یک پرسش را پاسخ می‌دهد. 4 × 3 = ?

قاعده، در قالب چهار تصویر

یکان ضرب در یکان روی میلهٔ یکان می‌نشیند. عدد 2 روی میلهٔ 0 ایستاده و ضرب‌کنندهٔ 3 تک‌رقمی است، پس هر دو شمارهٔ ارزش مکانی صفرند. آن‌ها را جمع کنید: 0 + 0 = 0، و 6 روی میلهٔ 0 می‌رود. هنوز چیز غافلگیرکننده‌ای نیست — این همان حالتی است که قاعده با حدس شما هم‌خوانی دارد. 2 × 3 = 6

رقم را یک میله به چپ ببرید، پاسخ هم دنبالش می‌رود. همان ارقام، همان حاصل‌ضرب 6، اما حالا 2 روی میلهٔ 1 ایستاده است. 1 + 0 = 1، پس 6 روی میلهٔ 1 می‌نشیند و قاب 60 را نشان می‌دهد. نه ضرب‌کننده عوض شد و نه جدول ضرب؛ ارزش مکانی مضروب عوض شد و پاسخ هم با آن جابه‌جا شد. 20 × 3 = 60

و باز هم یک میله بیشتر به سمت چپ. حالا 2 روی میلهٔ 2 است، پس 2 + 0 = 2 و 6 روی میلهٔ صدگان می‌نشیند: 600. سه قاب، یک حاصل‌ضرب، سه میلهٔ متفاوت. هیچ‌گاه ارقام تعیین نکردند پاسخ کجا برود — ارزش‌های مکانی تعیین کردند. 200 × 3 = 600

حاصل‌ضرب دورقمی دو میله می‌گیرد. هشت‌تا نه می‌شود 72 و هیچ میله‌ای نمی‌تواند 72 را نشان دهد. رقم یکان یعنی 2 روی میلهٔ 0 + 0 = 0 می‌رود و رقم دهگان یعنی 7 یک میله جلوتر به چپ، روی میلهٔ 1. تنها حالت دیگری که وجود دارد همین است: حاصل‌ضرب دو رقم تکی هرگز از 9 × 9 = 81 بیشتر نمی‌شود، پس یک‌رقمی است یا دورقمی، و دورقمی یعنی میلهٔ i + j به همراه میلهٔ کنارش. 8 × 9 = 72

هر کدام یک رقم: 7 × 6

از یک قاب پاک‌شده شروع کنید. مهره‌ها پاسخ را در حین ساخته شدن نگه می‌دارند؛ دو عددی که در هم ضرب می‌شوند در سطر بالای آن‌ها می‌مانند. هم 7 و هم 6 تک‌رقمی‌اند و روی میلهٔ 0 ایستاده‌اند، پس هر چه این مسئله تولید کند به میلهٔ 0 + 0 = 0 تعلق دارد — و هر جا جا نشد، به میلهٔ 1. 7 × 6 = ?

اول رقم یکان را بگذارید. هفت‌تا شش می‌شود 42. رقم یکانش 2 است و 2 روی میلهٔ 0 می‌رود. دو مهرهٔ زمینی روی یک میلهٔ خالی بالا می‌آیند و هیچ چیز دیگری روی قاب تکان نمی‌خورد. 0 + 2 = 2

سپس رقم دهگان، یک میله به سمت چپ. رقم دهگان 42 برابر 4 است و روی میلهٔ 0 + 1 = 1 می‌رود. چهار مهرهٔ زمینی روی میلهٔ دهگان بالا می‌آیند و قاب 42 را نشان می‌دهد. دو میله مصرف شد، آن هم از مسئله‌ای که هر دو ورودی‌اش تک‌رقمی بودند — و این کوتاه‌ترین دلیلی است که «چقدر» و «کجا» دو پرسش جدا هستند. 2 + 40 = 42

دو رقم در یک رقم: 34 × 2

دو رقم یعنی دو حاصل‌ضرب جزئی. عدد 3 روی میلهٔ 1 ایستاده و 4 روی میلهٔ 0؛ ضرب‌کنندهٔ 2 هم روی میلهٔ 0 است. پس دو جفت برای جای‌گذاری داریم، (1، 0) و (0، 0)، و این گام‌به‌گام همیشه از بالاترین ارزش مکانی مضروب شروع می‌کند. روی یک soroban واقعی ترتیب آزاد است، چون برای جمع مهم نیست چیزها به چه ترتیبی برسند؛ ثابت کردن ترتیب در اینجا همان چیزی است که هر گام را قابل بررسی می‌کند. 34 × 2 = ?

سه ضرب در دو، فرود روی میلهٔ 1. 3 × 2 = 6 تک‌رقمی است، پس یک میله می‌خواهد و 1 + 0 = 1 آن میله را نام می‌برد. مهرهٔ آسمانی پایین و یک مهرهٔ زمینی بالا روی میلهٔ دهگان، و قاب 60 را نشان می‌دهد. 30 × 2 = 60

چهار ضرب در دو، فرود روی میلهٔ 0. 4 × 2 = 8، باز هم یک‌رقمی، و 0 + 0 = 0 آن را روی میلهٔ یکان می‌گذارد. مهرهٔ آسمانی پایین، سه مهرهٔ زمینی بالا، و قاب 68 را نشان می‌دهد. در این مثال هیچ همپوشانی رخ نداد — هر حاصل‌ضرب جزئی میلهٔ خودش را داشت، که حالت آسان است. 60 + 8 = 68

فرود روی میلهٔ اشغال‌شده: 27 × 3

مثالی که قاعده واقعاً برای آن ساخته شده است. عدد 2 روی میلهٔ 1 است، 7 روی میلهٔ 0 و ضرب‌کنندهٔ 3 روی میلهٔ 0. دومین حاصل‌ضرب جزئی دو رقم خواهد داشت، پس دو میله می‌خواهد — و یکی از آن‌ها از قبل رقمی از حاصل‌ضرب اول را نگه داشته است. 27 × 3 = ?

اول بالاترین ارزش مکانی: دو ضرب در سه. 2 × 3 = 6، یک‌رقمی، روی میلهٔ 1 + 0 = 1. قاب 60 را نشان می‌دهد. تا اینجا همان مثال قبلی است. 20 × 3 = 60

هفت ضرب در سه می‌شود 21 — اول رقم یکان. رقم یکان یعنی 1 روی میلهٔ 0 + 0 = 0 می‌رود. یک مهرهٔ زمینی روی میلهٔ یکان بالا می‌آید و قاب 61 را نشان می‌دهد. عدد 2 هنوز در راه است و جایش اینجا نیست. 60 + 1 = 61

حالا رقم دهگان، روی میله‌ای که خالی نیست. رقم دهگان یعنی 2 به میلهٔ 0 + 0 + 1 = 1 تعلق دارد که همین حالا 6 را نشان می‌دهد. همان‌جا اضافه‌اش کنید: دو تا از سه مهرهٔ زمینی آزاد بالا می‌آیند، 6 می‌شود 8 و قاب 81 را نشان می‌دهد. اگر همان 2 را روی میلهٔ یکان بیندازید، قاب 63 را نشان می‌دهد — چیدمانی کاملاً مجاز از مهره‌ها که فقط پاسخ اشتباهی است، و همان اشتباهی که این صفحه برای جلوگیری از آن وجود دارد. 61 + 20 = 81

نوبت شما: 7 × 6

رقم یکان 42 را بگذارید. قاب پاک شده و مهره‌ها فعال‌اند. هفت‌تا شش می‌شود 42؛ رقم یکانش را روی میلهٔ یکان بگذارید تا قاب 2 را نشان دهد و رقم دهگان را برای گام بعد بگذارید. اگر 42 را یک‌جا بگذارید این گام را از دست می‌دهید، و این عمدی است — همین جدا کردن است که ثابت می‌کند دو رقم به دو میلهٔ متفاوت رفته‌اند، نه اینکه از روی جدول ضرب خوانده شده باشند. 0 + 2 = 2

حالا رقم دهگان، یک میله به چپ. قاب 2 را نشان می‌دهد. چهار مهرهٔ زمینی را روی میلهٔ دهگان بالا ببرید تا 42 را نشان دهد و ضرب تمام شود. میلهٔ 0 برای رقم یکان، میلهٔ 1 برای رقم دهگان، و لازم نبود چیزی دربارهٔ محل رفتنشان به خاطر سپرده شود. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42

نوبت شما: 34 × 2

اول بالاترین ارزش مکانی. قاب پاک شده است. رقم 3 در 34 روی میلهٔ 1 ایستاده، پس 3 × 2 = 6 به میلهٔ 1 + 0 = 1 تعلق دارد: مهرهٔ آسمانی پایین و یک مهرهٔ زمینی بالا روی میلهٔ دهگان، که 60 می‌دهد. اگر 6 را روی میلهٔ یکان فرود بیاورید، به جای 60 عدد 6 را ثبت کرده‌اید و همان گام این را به شما می‌گوید. 30 × 2 = 60

حالا رقم یکان مضروب. قاب 60 را نشان می‌دهد. 4 × 2 = 8 به میلهٔ 0 + 0 = 0 تعلق دارد. کاری کنید قاب 68 را نشان دهد و مسئله تمام است — دو حاصل‌ضرب جزئی، دو میله، بدون همپوشانی. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68

نوبت شما: سرریز در 27 × 3

از 60 شروع می‌کنیم، چون آن بخش را قبلاً انجام داده‌اید. اولین حاصل‌ضرب جزئی، 20 × 3 = 60، همان حرکتی است که لحظه‌ای پیش روی 34 × 2 انجام دادید، پس قاب از همان ابتدا با آن باز می‌شود. آنچه مانده 7 × 3 = 21 است. رقم یکانش را روی میلهٔ یکان بگذارید تا قاب 61 را نشان دهد. 60 + 1 = 61

و رقم دهگان، روی میلهٔ اشغال‌شده. قاب 61 را نشان می‌دهد. رقم دهگان 21 روی میلهٔ دهگان می‌رود که همین حالا 6 را نگه داشته است: آنجا دو مهرهٔ زمینی را بالا ببرید تا قاب 81 را نشان دهد. اگر 63 را نشان داد، آن رقم را به میلهٔ یکان افزوده‌اید — رقم درست، میلهٔ اشتباه، و این تنها اشتباهی است که ضرب با soroban واقعاً دارد. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81

بازی آزاد

پنج میله، بدون هدف. ضرب نخستین تکنیکی است که پاسخش می‌تواند به اندازهٔ مجموع پهنای هر دو ورودی‌اش پهن باشد — 99 × 99 چهار میله می‌خواهد — پس این قاب پنج میله دارد و هیچ چیز نمره‌دهی نمی‌شود. یک مسئله انتخاب کنید، هر حاصل‌ضرب جزئی را روی میلهٔ i + j بگذارید و وقتی جفت‌ها تمام شد، قاب را بخوانید.