Ustunda toʻrt, uchga koʻpaytiriladi. Bu yerda hech nima qotib qolgani yoʻq. Ustun 4 ni koʻrsatib turibdi va unda boʻsh munchoqlar yetarli, demak bu — toʻldiruvchi sahifalari tasvirlaydigan, ustunda boʻsh munchoq qolmaydigan devor emas. Muammo shundaki, 4 × 3 = 12 ikki xonali, shu bois javob 4 oʻtirgan ustunning oʻziga hech qanday sigʻmaydi — qolgan qismi qayerga borishini esa birorta qoʻshish qoidasi aytmaydi. Ana shu savolga koʻpaytirish javob beradi. 4 × 3 = ?
Interaktiv qoʻllanma · Yuqori A
Abakusda koʻpaytirish: qismiy koʻpaytma qaysi sterjenda
Sterjenlarni oʻngdan boshlab raqamlang — birliklar 0, oʻnliklar 1, yuzliklar 2. i sterjenidagi raqamni j sterjenidagi raqamga koʻpaytiring, javob esa i + j sterjeniga tushadi: birliklar raqami oʻsha yerga, oʻnliklar raqami bir sterjen chaproqqa. Sorobanda koʻpaytirishning hammasi shu bitta qoidada. Bu qoʻllanma uni toʻrtta tasvirda chizadi, uchta misolda ishlab koʻrsatadi, keyin munchoqlarni sizga topshiradi. Toʻqqizta boʻlim, yigirma ikkita qadam, vaqt oʻlchanmaydi.
Bu sahifa sizdan nima talab qiladi
Bu mashq varaqasi ham, maqola ham emas. Har bir boʻlim — yonida izohi bor haqiqiy abakus ramkasi, oxirgi uchdan biri esa munchoqlarni sizga topshiradi: panel sonni aytadi, siz munchoqlarni surasiz, u esa ramka oʻsha sonni koʻrsatayotgan-koʻrsatmayotganini aytadi. Har bir yechilgan misol bitta emas, ikkita alohida qadam sifatida baholanadi — shuning uchun allaqachon bilgan javobingizni birdan qoʻysangiz, birinchi yarmi oʻtmaydi: aynan shu boʻlinish koʻpaytmaning ikki raqami ikki xil sterjenga tushishini koʻrsatadi.
Koʻpaytirish — Yuqori A ning mavzusi, toʻqqiz bosqichli narvonning yettinchi pogʻonasi. Agar 10 ga toʻldiruvchilar hali avtomatga aylanmagan boʻlsa, avval katta doʻstlar qoʻllanmasini ishlab chiqing: qismiy koʻpaytma koʻpincha allaqachon raqam turgan sterjenga tushadi, undan keyingi tuzatish esa yangi narsa emas — oddiy oʻtkazma.
Sorobanda qanday koʻpaytiriladi?
Har bir ustunga oʻz xona raqamini bering: birlar ustuniga 0, oʻnlarga 1, yuzlarga 2 va hokazo. Birinchi sonning har bir raqamini ikkinchi sonning har bir raqamiga koʻpaytiring va natijani ramkadagi i + j ustuniga qoʻshing, bu yerda i va j — oʻsha ikki xona raqami. Ikki raqamning koʻpaytmasi koʻpi bilan 81 boʻladi, demak u bitta yoki ikkita ustunga sigʻadi: birlar raqami i + j ustuniga, oʻnlar raqami esa uning chap yonidagi ustunga tushadi. Barcha juftliklar joylashtirilgach, ramkaning oʻzi javob boʻladi.
Qismiy koʻpaytma qayerga tushishini ikki raqamning xonasi hal qiladi, hech qachon ularning kattaligi emas — bu usul qoʻshadigan yagona narsa ham shu. Uni ustunda allaqachon turgan sonning ustiga qoʻshish esa oddiy qoʻshish: kichik doʻstlar va katta doʻstlar bu ishni oʻzgarishsiz bajaradi. Haqiqiy sorobanda koʻpaytirilayotgan ikki son ramkaning chap tomonida turadi; bu yerdagi ramkalar faqat qurilayotgan javobni saqlaydi, misolning oʻzi esa ular yonidagi qatorda qoladi.
Donaklarni oʻzingiz surib koʻring
Ramkada 4 koʻrsatilmoqda.
Butun dars, toʻliq yozma holda
I parda — javob boshlangan joyida qolmaydi
Birlar birlarga koʻpaytirilsa, javob birlar ustuniga tushadi. 2 raqami 0-ustunda turibdi, koʻpaytuvchi 3 esa bir xonali, demak ikkala xona raqami ham nol. Ularni qoʻshing: 0 + 0 = 0, va 6 raqami 0-ustunga tushadi. Hozircha kutilmagan hech nima yoʻq — bu qoida sizning taxminingizga mos keladigan holat. 2 × 3 = 6
Raqamni bir ustun chapga suring — javob ham ergashadi. Raqamlar oʻsha-oʻsha, koʻpaytma ham 6, biroq 2 endi 1-ustunda turibdi. 1 + 0 = 1, shuning uchun 6 raqami 1-ustunga tushadi va ramka 60 ni koʻrsatadi. Na koʻpaytuvchi, na koʻpaytirish jadvali oʻzgardi; oʻzgargani — koʻpaytiriluvchining xonasi, javob esa u bilan birga siljidi. 20 × 3 = 60
Yana bir bor, bir ustun yanada chapga. Endi 2 raqami 2-ustunda, demak 2 + 0 = 2 va 6 yuzlar ustuniga oʻtiradi: 600. Uch ramka, bitta koʻpaytma, uch xil ustun. Javob qayerga borishini raqamlar emas — xonalar hal qildi. 200 × 3 = 600
Ikki xonali koʻpaytma ikkita ustunni egallaydi. Sakkiz marta toʻqqiz — 72, hech bir ustun esa 72 ni koʻrsata olmaydi. Birlar raqami 2 — 0 + 0 = 0 ustuniga, oʻnlar raqami 7 esa bir ustun chapga, 1-ustunga tushadi. Bundan boshqa holat yoʻq: ikkita bir xonali sonning koʻpaytmasi hech qachon 9 × 9 = 81 dan oshmaydi, demak u bir yoki ikki xonali boʻladi, ikki xonali boʻlsa — i + j ustuni yonidagi ustun bilan birga ishlaydi. 8 × 9 = 72
II parda — uch marta ishlangan, toʻkilish esa oxirida
Tozalangan ramkadan boshlang. Munchoqlar qurilayotgan javobni saqlaydi; koʻpaytirilayotgan ikki son esa ular ustidagi qatorda qoladi. 7 ham, 6 ham bir xonali va 0-ustunda turibdi, demak bu misol keltirib chiqaradigan hamma narsa 0 + 0 = 0 ustuniga — sigʻmagan holda esa 1-ustunga tegishli. 7 × 6 = ?
Avval birlar raqamini qoʻying. Yetti marta olti — 42. Uning birlar raqami 2, va 2 raqami 0-ustunga tushadi. Boʻsh ustunda ikkita pastki munchoq koʻtariladi, ramkada boshqa hech nima qimirlamaydi. 0 + 2 = 2
Keyin oʻnlar raqami — bir ustun chapga. 42 ning oʻnlar raqami 4, va u 0 + 1 = 1 ustuniga tushadi. Oʻnlar ustunida toʻrtta pastki munchoq koʻtariladi va ramka 42 ni koʻrsatadi. Ikkala kirish soni ham bir xonali boʻlgan misoldan ikkita ustun ishlatildi — bu esa «qancha» va «qayerda» alohida savollar ekanining eng qisqa isboti. 2 + 40 = 42
Ikki raqam — ikkita qismiy koʻpaytma degani. 3 raqami 1-ustunda, 4 esa 0-ustunda turibdi; koʻpaytuvchi 2 ham 0-ustunda. Bu joylashtiriladigan ikkita juftlik beradi — (1, 0) va (0, 0) — va bu yoʻriqnoma har doim koʻpaytiriluvchining eng katta xonasidan boshlaydi. Haqiqiy sorobanda tartib erkin, chunki qoʻshish uchun narsalar qaysi ketma-ketlikda kelgani muhim emas; bu yerda tartibni belgilab qoʻyish esa har bir qadamni tekshirsa boʻladigan qiladi. 34 × 2 = ?
Uch marta ikki — 1-ustunga tushadi. 3 × 2 = 6 bir xonali, demak unga bitta ustun kerak, 1 + 0 = 1 esa oʻsha ustunni nomlaydi. Oʻnlar ustunida yuqori munchoq pastga, bitta pastki munchoq yuqoriga — ramka 60 ni koʻrsatadi. 30 × 2 = 60
Toʻrt marta ikki — 0-ustunga tushadi. 4 × 2 = 8, yana bir xonali, 0 + 0 = 0 esa uni birlar ustuniga qoʻyadi. Yuqori munchoq pastga, uchta pastki munchoq yuqoriga — ramka 68 ni koʻrsatadi. Bu misolda hech nima ustma-ust tushmadi: har bir qismiy koʻpaytmaga alohida ustun tegdi, bu esa oson holat. 60 + 8 = 68
Qoida aslida ana shu misol uchun. 2 raqami 1-ustunda, 7 — 0-ustunda, koʻpaytuvchi 3 esa 0-ustunda. Ikkita qismiy koʻpaytmaning ikkinchisi ikki xonali boʻladi, demak unga ikkita ustun kerak boʻladi — ulardan biri esa birinchisidan qolgan raqamni allaqachon saqlab turgan boʻladi. 27 × 3 = ?
Avval eng katta xona: ikki marta uch. 2 × 3 = 6, bir xonali, 1 + 0 = 1 ustuniga. Ramka 60 ni koʻrsatadi. Hozircha bu — oldingi misolning oʻzi. 20 × 3 = 60
Yetti marta uch — 21, avval birlar raqami. Birlar raqami 1 — 0 + 0 = 0 ustuniga tushadi. Birlar ustunida bitta pastki munchoq koʻtariladi va ramka 61 ni koʻrsatadi. 2 hali oldinda, va uning bu yerda joyi yoʻq. 60 + 1 = 61
Endi oʻnlar raqami — boʻsh boʻlmagan ustunga. Oʻnlar raqami 2 — 0 + 0 + 1 = 1 ustuniga tegishli, u esa allaqachon 6 ni koʻrsatib turibdi. Uni oʻsha yerga qoʻshing: uchta boʻsh pastki munchoqdan ikkitasi koʻtariladi, 6 raqami 8 ga aylanadi va ramka 81 ni koʻrsatadi. Oʻsha 2 ni buning oʻrniga birlar ustuniga tashlasangiz, ramka 63 ni koʻrsatadi — munchoqlar joylashuvi mutlaqo qonuniy, ammo javob shunchaki notoʻgʻri; bu sahifa aynan shu xatoning oldini olish uchun bor. 61 + 20 = 81
III parda — endi sizning navbatingiz
42 ning birlar raqamini qoʻying. Ramka tozalangan, munchoqlar esa jonli. Yetti marta olti — 42; uning birlar raqamini birlar ustuniga qoʻying, toki ramka 2 ni koʻrsatsin, oʻnlar raqamini esa keyingi qadamga qoldiring. Agar 42 ni bir yoʻla tersangiz, bu qadamni oʻtkazib yuborasiz, va bu ataylab shunday: aynan boʻlinish ikkala raqam koʻpaytirish jadvalidan oʻqib olinmay, ikki xil ustunga ketganini isbotlaydi. 0 + 2 = 2
Endi oʻnlar raqami — bir ustun chapga. Ramka 2 ni koʻrsatib turibdi. Oʻnlar ustunida toʻrtta pastki munchoqni koʻtaring, shunda u 42 ni koʻrsatadi va koʻpaytirish tugaydi. Birlar raqamiga 0-ustun, oʻnlar raqamiga 1-ustun — va ular qayerga ketgani haqida hech narsani yodda saqlash kerak boʻlmadi. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42
Avval eng katta xona. Ramka tozalangan. 34 dagi 3 raqami 1-ustunda turibdi, demak 3 × 2 = 6 raqami 1 + 0 = 1 ustuniga tegishli: oʻnlar ustunida yuqori munchoq pastga, bitta pastki munchoq yuqoriga — natija 60. Agar 6 ni buning oʻrniga birlar ustuniga tushirsangiz, 60 emas, 6 ni kiritgan boʻlasiz, qadam esa buni sizga aytadi. 30 × 2 = 60
Endi koʻpaytiriluvchining birlar raqami. Ramka 60 ni koʻrsatib turibdi. 4 × 2 = 8 esa 0 + 0 = 0 ustuniga tegishli. Ramkani 68 ga keltiring va misol tamom — ikkita qismiy koʻpaytma, ikkita ustun, ustma-ustlik yoʻq. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68
60 dan boshlanadi, chunki bu qismini allaqachon bajargansiz. Birinchi qismiy koʻpaytma — 20 × 3 = 60 — bir lahza oldin 34 × 2 da qilgan harakatingizning oʻzi, shuning uchun ramka uni tayyor holda ochadi. Qolgani — 7 × 3 = 21. Uning birlar raqamini birlar ustuniga qoʻying, toki ramka 61 ni koʻrsatsin. 60 + 1 = 61
Va oʻnlar raqami — band ustunga. Ramka 61 ni koʻrsatib turibdi. 21 ning oʻnlar raqami oʻnlar ustuniga tushadi, u esa allaqachon 6 ni saqlab turibdi: oʻsha yerda ikkita pastki munchoqni koʻtaring, shunda ramka 81 ni koʻrsatadi. Agar 63 chiqsa, siz oʻsha raqamni birlar ustuniga qoʻshgansiz — raqam toʻgʻri, ustun notoʻgʻri; sorobanda koʻpaytirishning yagona haqiqiy xatosi ham shu. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81
Besh ustun, maqsad yoʻq. Koʻpaytirish — javobi ikkala kirish soni birgalikda egallagancha keng boʻlishi mumkin boʻlgan birinchi usul: 99 × 99 uchun toʻrtta ustun kerak. Shu bois bu ramka besh ustunli va bu yerda hech nima baholanmaydi. Misol tanlang, har bir qismiy koʻpaytmani i + j ustuniga qoʻying va juftliklar tugagach ramkani oʻqing.
Bundan keyin qayerga?
Bir xil usul, toʻrt xil vazifa. Bu sahifa bosqichma-bosqich yoʻriqnoma edi; quyidagilari boshqalari, va ularning hech biri buning oʻrnini bosmaydi.
Sorobanda koʻpaytirishni mashq qiling — misollar toʻplami, namunalar va chop etiladigan varaqlarAbakusda aqliy hisob qanday ishlashini oʻqing — toʻrtala amal, matn shaklidaAsbob boʻylab toʻliq sayohat — qismlari, xona qiymati, munchoqlarni oʻqishZinapoyadan bir pogʻona pastga: katta doʻstlar (10 ga toʻldiruvchilar) — bu sahifa tayanadigan oʻtkazma
Boshqa qoʻllanmalar
Beshta usul, bitta zinapoya. Har biri oʻz qoʻllanmasiga va oʻzi surib koʻriladigan donachalariga ega; bu yerda ular oʻquvchi duch keladigan tartibda joylashgan.
99 gacha sanashTayyorgarlik · 19 bob · 43 qadamKichik doʻstlar (5 gacha toʻldiruvchilar)Boshlangʻich A · 9 bob · 22 qadamKatta doʻstlar (10 gacha toʻldiruvchilar)Boshlangʻich B · 9 bob · 26 qadamXayoliy abakus (anzan)Oʻrta B · 9 bob · 24 qadamAbakusda boʻlishYuqori B dan Oliy darajagacha · 9 bob · 26 qadam