Phép nhân trên bàn tính: mỗi tích riêng phần rơi xuống cột nào

Một bức tường khác

Số 4 trên cột, nhân 3. Ở đây chẳng có gì bị kẹt. Cột đọc là 4 và vẫn còn hạt dư, nên đây không phải bức tường mà các trang số bù mô tả, nơi một cột hết hạt trống. Vấn đề là 4 × 3 = 12 có hai chữ số, nên đáp án không thể nào nằm trọn trên cột mà số 4 đang ngồi — và không quy tắc cộng nào cho bạn biết phần còn lại đi đâu. Phép nhân trả lời đúng câu hỏi đó. 4 × 3 = ?

Quy tắc, kể bằng bốn bức tranh

Hàng đơn vị nhân hàng đơn vị rơi xuống cột đơn vị. Số 2 đứng trên cột 0 và số nhân 3 chỉ có một chữ số, nên cả hai số hiệu hàng đều bằng 0. Cộng chúng lại: 0 + 0 = 0, và số 6 đi lên cột 0. Chưa có gì bất ngờ — đây là trường hợp quy tắc trùng khớp với điều bạn vẫn đoán. 2 × 3 = 6

Dời chữ số sang trái một cột thì đáp án đi theo. Vẫn những chữ số ấy, vẫn tích bằng 6, nhưng giờ số 2 đứng trên cột 1. 1 + 0 = 1, nên số 6 đi lên cột 1 và khung đọc là 60. Số nhân không đổi, bảng cửu chương cũng không đổi; cái đổi là hàng của số bị nhân, và đáp án dời theo nó. 20 × 3 = 60

Và lần nữa, lệch thêm một cột sang trái. Giờ số 2 nằm trên cột 2, nên 2 + 0 = 2 và số 6 ngồi trên cột hàng trăm: 600. Ba chiếc khung, một tích, ba cột khác nhau. Các chữ số chưa bao giờ quyết định đáp án đi đâu — các hàng mới quyết định. 200 × 3 = 600

Một tích hai chữ số dùng hai cột. Tám lần chín là 72, mà không cột nào hiện được 72. Chữ số hàng đơn vị 2 đi lên cột 0 + 0 = 0, còn chữ số hàng chục 7 lệch thêm một cột sang trái, lên cột 1. Đó là trường hợp còn lại duy nhất: tích của hai chữ số đơn không bao giờ vượt quá 9 × 9 = 81, nên nó có một hoặc hai chữ số, và hai chữ số nghĩa là cột i + j cùng với cột kề bên nó. 8 × 9 = 72

Mỗi bên một chữ số: 7 × 6

Bắt đầu từ một chiếc khung đã xóa. Các hạt mang đáp án trong lúc nó được dựng lên; hai số đem nhân thì nằm ở dòng phía trên chúng. Cả 7 và 6 đều là chữ số đơn đứng trên cột 0, nên mọi thứ phép tính này sinh ra đều thuộc về cột 0 + 0 = 0 — và khi không vừa, thì thuộc về cột 1. 7 × 6 = ?

Đặt chữ số hàng đơn vị trước. Bảy lần sáu là 42. Chữ số hàng đơn vị của nó là 2, và số 2 đi lên cột 0. Hai hạt đất đi lên trên một cột trống và không có gì khác trên khung nhúc nhích. 0 + 2 = 2

Rồi tới chữ số hàng chục, lệch một cột sang trái. Chữ số hàng chục của 42 là 4, và nó đi lên cột 0 + 1 = 1. Bốn hạt đất đi lên trên cột hàng chục và khung đọc là 42. Dùng hết hai cột, từ một phép tính mà cả hai đầu vào đều là chữ số đơn — đó là bằng chứng ngắn nhất cho thấy bao nhiêu và ở đâu là hai câu hỏi tách rời. 2 + 40 = 42

Hai chữ số nhân một chữ số: 34 × 2

Hai chữ số nghĩa là hai tích riêng phần. Số 3 đứng trên cột 1 và số 4 trên cột 0; số nhân 2 đứng trên cột 0. Vậy có hai cặp phải đặt, (1, 0) và (0, 0), và hướng dẫn này luôn lấy hàng lớn nhất của số bị nhân trước. Trên một chiếc soroban thật thì thứ tự là tự do, vì phép cộng chẳng bận tâm mọi thứ đến theo thứ tự nào; việc cố định thứ tự ở đây là để mỗi bước đều kiểm được. 34 × 2 = ?

Ba nhân hai, rơi xuống cột 1. 3 × 2 = 6 chỉ có một chữ số, nên nó cần một cột, và 1 + 0 = 1 gọi đúng tên cột đó. Hạt trời hạ xuống và một hạt đất đẩy lên trên cột hàng chục, và khung đọc là 60. 30 × 2 = 60

Bốn nhân hai, rơi xuống cột 0. 4 × 2 = 8, lại một chữ số, và 0 + 0 = 0 đặt nó lên cột đơn vị. Hạt trời hạ xuống, ba hạt đất đẩy lên, và khung đọc là 68. Trong ví dụ này chẳng có gì chồng lên nhau — mỗi tích riêng phần có một cột riêng, và đó là trường hợp dễ. 60 + 8 = 68

Rơi xuống một cột đang bận: 27 × 3

Ví dụ mà quy tắc này thật sự sinh ra để giải quyết. Số 2 nằm trên cột 1, số 7 trên cột 0, và số nhân 3 trên cột 0. Tích riêng phần thứ hai trong hai tích sẽ có hai chữ số, nên nó sẽ cần hai cột — và một trong hai cột ấy đã đang giữ một chữ số từ tích thứ nhất. 27 × 3 = ?

Hàng lớn nhất trước: hai nhân ba. 2 × 3 = 6, một chữ số, lên cột 1 + 0 = 1. Khung đọc là 60. Tới đây thì vẫn là ví dụ trước lặp lại. 20 × 3 = 60

Bảy nhân ba là 21 — chữ số hàng đơn vị trước. Chữ số hàng đơn vị 1 đi lên cột 0 + 0 = 0. Một hạt đất đi lên trên cột đơn vị và khung đọc là 61. Số 2 vẫn còn chưa tới, và nó không thuộc về chỗ này. 60 + 1 = 61

Giờ tới chữ số hàng chục, lên một cột không còn trống. Chữ số hàng chục 2 thuộc về cột 0 + 0 + 1 = 1, cột này đang đọc là 6. Hãy cộng nó vào đó: hai trong ba hạt đất còn trống đi lên, số 6 thành 8, và khung đọc là 81. Nếu thả số 2 ấy xuống cột đơn vị thì khung đọc là 63 — một cách xếp hạt hoàn toàn hợp lệ nhưng đơn giản là đáp án sai, và đó chính là lỗi mà trang này tồn tại để ngăn. 61 + 20 = 81

Đến lượt bạn: 7 × 6

Đặt chữ số hàng đơn vị của 42. Khung đã xóa và các hạt đã sống. Bảy lần sáu là 42; hãy đặt chữ số hàng đơn vị của nó lên cột đơn vị để khung đọc là 2, và để dành chữ số hàng chục cho bước sau. Nếu bạn đặt thẳng 42 một lèo thì bước này sẽ sai, và điều đó là cố ý — chỗ tách đôi ấy chứng minh hai chữ số đã đi tới hai cột khác nhau chứ không phải được đọc ra từ bảng cửu chương. 0 + 2 = 2

Giờ tới chữ số hàng chục, lệch một cột sang trái. Khung đọc là 2. Đẩy bốn hạt đất lên trên cột hàng chục để nó đọc là 42, thế là xong phép nhân. Cột 0 cho chữ số hàng đơn vị, cột 1 cho chữ số hàng chục, và chẳng phải nhớ điều gì về chuyện chúng đi đâu. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42

Đến lượt bạn: 34 × 2

Hàng lớn nhất trước. Khung đã xóa. Số 3 của 34 đứng trên cột 1, nên 3 × 2 = 6 thuộc về cột 1 + 0 = 1: hạt trời hạ xuống và một hạt đất đẩy lên trên cột hàng chục, cho ra 60. Nếu bạn thả số 6 xuống cột đơn vị thì bạn đã ghi 6 chứ không phải 60, và bước này sẽ báo như thế. 30 × 2 = 60

Giờ tới chữ số hàng đơn vị của số bị nhân. Khung đọc là 60. 4 × 2 = 8 thuộc về cột 0 + 0 = 0. Hãy làm cho khung đọc là 68, thế là xong bài — hai tích riêng phần, hai cột, không chồng lên nhau. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68

Đến lượt bạn: phần tràn trong 27 × 3

Bắt đầu từ 60, vì phần đó bạn đã làm rồi. Tích riêng phần thứ nhất, 20 × 3 = 60, chính là nước đi bạn vừa làm ở 34 × 2, nên khung mở ra với nó đã sẵn ở đó. Còn lại là 7 × 3 = 21. Hãy đặt chữ số hàng đơn vị của nó lên cột đơn vị để khung đọc là 61. 60 + 1 = 61

Rồi tới chữ số hàng chục, lên cột đang bận. Khung đọc là 61. Chữ số hàng chục của 21 đi lên cột hàng chục, cột này đang giữ 6: hãy đẩy hai hạt đất lên ở đó để khung đọc là 81. Nếu nó đọc là 63 thì bạn đã cộng chữ số ấy vào cột đơn vị — đúng chữ số, sai cột, và đó là lỗi duy nhất mà phép nhân trên soroban thật sự có. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81

Chơi tự do

Năm cột, không có đích. Phép nhân là kỹ thuật đầu tiên có đáp án rộng bằng cả hai đầu vào gộp lại — 99 × 99 cần bốn cột — nên chiếc khung này rộng năm cột và không chấm điểm gì cả. Hãy chọn một phép tính, đặt từng tích riêng phần lên cột i + j, rồi đọc khung khi các cặp đã hết.