سلاخ پر چار، ضرب تین۔ یہاں کچھ اٹکا ہوا نہیں۔ سلاخ 4 پڑھ رہی ہے اور اس کے پاس منکے فالتو ہیں، تو یہ وہ دیوار نہیں جس کا ذکر متمم والے صفحات کرتے ہیں، جہاں سلاخ کے فارغ منکے ختم ہو جاتے ہیں۔ مسئلہ یہ ہے کہ 4 × 3 = 12 دو ہندسوں کا ہے، اس لیے جواب پورا کا پورا اُس سلاخ پر رہ ہی نہیں سکتا جس پر 4 بیٹھا ہے — اور جمع کا کوئی اصول یہ نہیں بتاتا کہ باقی کہاں جائے۔ ضرب اسی ایک سوال کا جواب دیتی ہے۔ 4 × 3 = ?
انٹرایکٹو رہنمائی · Higher A
اباکس پر ضرب: ہر جزوی حاصلِ ضرب کس سلاخ پر اترتا ہے
سلاخوں کو دائیں سے نمبر دیں — اکائی کے لیے 0، دہائی کے لیے 1، سینکڑے کے لیے 2۔ سلاخ i پر کھڑے ہندسے کو سلاخ j پر کھڑے ہندسے سے ضرب دیں اور جواب سلاخ i + j پر اترتا ہے: اس کا اکائی والا ہندسہ وہیں، اور دہائی والا ہندسہ ایک سلاخ اور بائیں۔ یہی اکیلا اصول soroban کی پوری ضرب ہے۔ یہ رہنمائی اسے چار تصویروں میں کھینچتی ہے، تین سوالوں پر چلا کر دکھاتی ہے، پھر منکے آپ کے حوالے کر دیتی ہے۔ نو باب، بائیس قدم، وقت کہیں نہیں ناپا جاتا۔
یہ صفحہ آپ سے کیا مانگتا ہے
یہ نہ مشق کی شیٹ ہے، نہ مضمون۔ ہر باب ایک اصلی اباکس کا فریم ہے جس کے ساتھ وضاحت لکھی ہے، اور آخری تہائی میں منکے آپ کے حوالے کر دیے جاتے ہیں: پینل ایک عدد بتاتا ہے، آپ منکے ہلاتے ہیں، اور وہ بتا دیتا ہے کہ فریم وہ عدد پڑھ رہا ہے یا نہیں۔ ہر حل شدہ سوال ایک کے بجائے دو الگ قدموں میں جانچا جاتا ہے، اس لیے وہ جواب سیٹ کر دینا جو آپ کو پہلے سے معلوم تھا، پہلے آدھے میں ناکام ہو جائے گا — یہ تقسیم ہی دکھاتی ہے کہ حاصلِ ضرب کے دو ہندسے دو مختلف سلاخوں پر جاتے ہیں۔
ضرب ہی Higher A کا موضوع ہے، نو لیول کی سیڑھی کا ساتواں زینہ۔ اگر 10 کے متمم خود بخود نہیں آتے تو پہلے بڑے دوستوں کی رہنمائی کریں: جزوی حاصلِ ضرب اکثر ایسی سلاخ پر اترتا ہے جو پہلے سے کوئی ہندسہ سنبھالے ہوئے ہے، اور اس کے بعد ہونے والی درستی وہی ہندسہ آگے لے جانا ہے، کوئی نئی چیز نہیں۔
soroban پر ضرب کیسے کرتے ہیں؟
ہر سلاخ کو اس کا خانہ نمبر دیں: اکائی کی سلاخ کے لیے 0، دہائی کے لیے 1، سینکڑے کے لیے 2، اور اسی طرح آگے۔ پہلے عدد کا ہر ہندسہ اور دوسرے عدد کا ہر ہندسہ لیں، انہیں ضرب دیں، اور نتیجہ فریم پر سلاخ i + j پر جوڑ دیں، جہاں i اور j وہی دو خانہ نمبر ہیں۔ دو ہندسوں کا حاصلِ ضرب زیادہ سے زیادہ 81 ہو سکتا ہے، تو وہ ایک سلاخ پر آتا ہے یا دو پر: اکائی والا ہندسہ سلاخ i + j پر اور دہائی والا ہندسہ عین اس کے بائیں والی سلاخ پر۔ جب ہر جوڑا رکھا جا چکے تو فریم ہی جواب ہے۔
جزوی حاصلِ ضرب کہاں اترے گا، اس کا فیصلہ دونوں ہندسوں کے خانوں سے ہوتا ہے، ان کے سائز سے کبھی نہیں — اور یہ تکنیک بس اتنا ہی اضافہ کرتی ہے۔ سلاخ پر جو پہلے سے موجود ہے اس میں اسے جوڑ دینا عام جمع ہے — یہ کام چھوٹے دوست اور بڑے دوست جوں کے توں کرتے ہیں۔ اصلی soroban پر ضرب کے دونوں عدد فریم کے بائیں حصے میں رکھ لیے جاتے ہیں؛ یہاں کے فریم صرف بنتا ہوا جواب سنبھالتے ہیں، اور سوال ساتھ والی سطر میں رہتا ہے۔
منکے خود ہلائیں
فریم اس وقت 4 دکھا رہا ہے۔
پورا سبق، لکھا ہوا
پہلا حصہ — جواب وہیں نہیں رہتا جہاں سے چلا تھا
اکائی ضرب اکائی، اکائی کی سلاخ پر اترتی ہے۔ 2 سلاخ 0 پر کھڑا ہے اور ضرب دینے والا 3 ایک ہی ہندسے کا ہے، تو دونوں خانہ نمبر صفر ہیں۔ انہیں جوڑیں: 0 + 0 = 0، اور 6 سلاخ 0 پر جاتا ہے۔ ابھی تک کچھ حیران کن نہیں — یہ وہ صورت ہے جہاں اصول آپ کے اندازے سے اتفاق کرتا ہے۔ 2 × 3 = 6
ہندسے کو ایک سلاخ بائیں کریں تو جواب ساتھ چلا جاتا ہے۔ وہی ہندسے، وہی حاصلِ ضرب 6، مگر 2 اب سلاخ 1 پر کھڑا ہے۔ 1 + 0 = 1، تو 6 سلاخ 1 پر جاتا ہے اور فریم 60 پڑھتا ہے۔ نہ ضرب دینے والا بدلا، نہ پہاڑا؛ بدلا تو ضرب کھانے والے کا خانہ، اور جواب اس کے ساتھ چل دیا۔ 20 × 3 = 60
اور پھر ایک سلاخ اور بائیں۔ 2 اب سلاخ 2 پر ہے، تو 2 + 0 = 2 اور 6 سینکڑے کی سلاخ پر بیٹھتا ہے: 600۔ تین فریم، ایک ہی حاصلِ ضرب، تین مختلف سلاخیں۔ جواب کہاں جائے گا، یہ ہندسوں نے کبھی طے نہیں کیا — خانوں نے کیا۔ 200 × 3 = 600
دو ہندسوں کا حاصلِ ضرب دو سلاخیں لیتا ہے۔ آٹھ نو 72 ہوتے ہیں، اور کوئی سلاخ 72 نہیں دکھا سکتی۔ اکائی والا ہندسہ 2 سلاخ 0 + 0 = 0 پر جاتا ہے، اور دہائی والا ہندسہ 7 ایک سلاخ اور بائیں، یعنی سلاخ 1 پر۔ اس کے علاوہ کوئی تیسری صورت ہے ہی نہیں: دو اکہرے ہندسوں کا حاصلِ ضرب کبھی 9 × 9 = 81 سے آگے نہیں جاتا، تو وہ ایک ہندسے کا ہے یا دو کا، اور دو ہندسوں کا مطلب ہے سلاخ i + j اور اس کے ساتھ والی سلاخ۔ 8 × 9 = 72
دوسرا حصہ — تین بار حل، اور بہاؤ سب سے آخر میں
صاف فریم سے شروع کریں۔ منکے بنتا ہوا جواب سنبھالتے ہیں؛ ضرب کے دونوں عدد اوپر والی سطر میں رہتے ہیں۔ 7 اور 6 دونوں اکہرے ہندسے ہیں اور سلاخ 0 پر کھڑے ہیں، اس لیے یہ سوال جو کچھ پیدا کرے گا وہ سلاخ 0 + 0 = 0 کا ہے — اور جہاں نہ سما سکے، وہاں سلاخ 1 کا۔ 7 × 6 = ?
پہلے اکائی والا ہندسہ رکھیں۔ سات چھ 42۔ اس کا اکائی والا ہندسہ 2 ہے، اور 2 سلاخ 0 پر جاتا ہے۔ ایک خالی سلاخ پر دو زمینی منکے اٹھتے ہیں اور فریم پر اور کچھ نہیں ہلتا۔ 0 + 2 = 2
پھر دہائی والا ہندسہ، ایک سلاخ بائیں۔ 42 کا دہائی والا ہندسہ 4 ہے، اور وہ سلاخ 0 + 1 = 1 پر جاتا ہے۔ دہائی کی سلاخ پر چار زمینی منکے اٹھتے ہیں اور فریم 42 پڑھتا ہے۔ ایسے سوال سے دو سلاخیں استعمال ہوئیں جس کے دونوں عدد اکہرے ہندسے تھے — اور یہ سب سے مختصر ثبوت ہے کہ "کتنا" اور "کہاں" دو الگ سوال ہیں۔ 2 + 40 = 42
دو ہندسوں کا مطلب ہے دو جزوی حاصلِ ضرب۔ 3 سلاخ 1 پر کھڑا ہے اور 4 سلاخ 0 پر؛ ضرب دینے والا 2 سلاخ 0 پر ہے۔ اس سے رکھنے کو دو جوڑے بنتے ہیں، (1، 0) اور (0، 0)، اور یہ رہنمائی ہمیشہ ضرب کھانے والے کا سب سے بڑا خانہ پہلے لیتی ہے۔ اصلی soroban پر ترتیب آزاد ہے، کیونکہ جمع کو اس سے کوئی غرض نہیں کہ چیزیں کس ترتیب سے آئیں؛ یہاں اسے طے کر دینا ہی ہر قدم کو جانچنے کے قابل بناتا ہے۔ 34 × 2 = ?
تین ضرب دو، اترتے ہوئے سلاخ 1 پر۔ 3 × 2 = 6 ایک ہی ہندسہ ہے، تو اسے ایک سلاخ چاہیے، اور 1 + 0 = 1 اس کا نام بتا دیتا ہے۔ دہائی کی سلاخ پر آسمانی منکا نیچے اور ایک زمینی منکا اوپر، اور فریم 60 پڑھتا ہے۔ 30 × 2 = 60
چار ضرب دو، اترتے ہوئے سلاخ 0 پر۔ 4 × 2 = 8، پھر ایک ہی ہندسہ، اور 0 + 0 = 0 اسے اکائی کی سلاخ پر رکھ دیتا ہے۔ آسمانی منکا نیچے، تین زمینی منکے اوپر، اور فریم 68 پڑھتا ہے۔ اس مثال میں کچھ آپس میں نہیں ٹکرایا — ہر جزوی حاصلِ ضرب کو اپنی الگ سلاخ ملی، اور یہی آسان صورت ہے۔ 60 + 8 = 68
وہ مثال جس کے لیے اصول اصل میں ہے۔ 2 سلاخ 1 پر ہے، 7 سلاخ 0 پر، اور ضرب دینے والا 3 سلاخ 0 پر۔ دونوں جزوی حاصلِ ضرب میں سے دوسرا دو ہندسوں کا ہوگا، تو اسے دو سلاخیں چاہیے ہوں گی — اور ان میں سے ایک پہلے والے کا ہندسہ سنبھالے بیٹھی ہوگی۔ 27 × 3 = ?
سب سے بڑا خانہ پہلے: دو ضرب تین۔ 2 × 3 = 6، ایک ہندسہ، سلاخ 1 + 0 = 1 پر۔ فریم 60 پڑھتا ہے۔ یہاں تک یہ پچھلی مثال ہی ہے۔ 20 × 3 = 60
سات ضرب تین 21 ہیں — پہلے اکائی والا ہندسہ۔ اکائی والا ہندسہ 1 سلاخ 0 + 0 = 0 پر جاتا ہے۔ اکائی کی سلاخ پر ایک زمینی منکا اٹھتا ہے اور فریم 61 پڑھتا ہے۔ 2 ابھی آنا باقی ہے، اور اس کی جگہ یہاں نہیں۔ 60 + 1 = 61
اب دہائی والا ہندسہ، ایک ایسی سلاخ پر جو خالی نہیں۔ دہائی والا ہندسہ 2 سلاخ 0 + 0 + 1 = 1 کا ہے، جو پہلے ہی 6 پڑھ رہی ہے۔ اسے وہیں جوڑیں: تین فارغ زمینی منکوں میں سے دو اٹھتے ہیں، 6، 8 بن جاتا ہے، اور فریم 81 پڑھتا ہے۔ وہ 2 اکائی کی سلاخ پر ڈال دیں تو فریم 63 پڑھے گا — منکوں کی بالکل جائز ترتیب، جو بس غلط جواب ہے، اور یہ صفحہ اسی غلطی کو روکنے کے لیے ہے۔ 61 + 20 = 81
تیسرا حصہ — اب آپ کی باری
42 کا اکائی والا ہندسہ رکھیں۔ فریم صاف ہے اور منکے چالو ہیں۔ سات چھ 42؛ اس کا اکائی والا ہندسہ اکائی کی سلاخ پر رکھیں تاکہ فریم 2 پڑھے، اور دہائی والا ہندسہ اگلے قدم کے لیے چھوڑ دیں۔ اگر آپ نے ایک ہی بار میں 42 سیٹ کر دیا تو یہ قدم ہاتھ سے نکل جائے گا، اور یہ جان بوجھ کر ہے — یہی تقسیم ثابت کرتی ہے کہ دو ہندسے دو مختلف سلاخوں پر گئے، نہ کہ پہاڑے سے پڑھ کر رکھ دیے گئے۔ 0 + 2 = 2
اب دہائی والا ہندسہ، ایک سلاخ بائیں۔ فریم 2 پڑھ رہا ہے۔ دہائی کی سلاخ پر چار زمینی منکے اوپر کریں تاکہ وہ 42 پڑھے اور ضرب مکمل ہو جائے۔ اکائی والے ہندسے کے لیے سلاخ 0، دہائی والے کے لیے سلاخ 1، اور یہ یاد رکھنے کی ضرورت ہی نہیں پڑی کہ وہ گئے کہاں۔ 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42
سب سے بڑا خانہ پہلے۔ فریم صاف ہے۔ 34 کا 3 سلاخ 1 پر کھڑا ہے، تو 3 × 2 = 6 سلاخ 1 + 0 = 1 کا ہے: دہائی کی سلاخ پر آسمانی منکا نیچے اور ایک زمینی منکا اوپر، یعنی 60۔ 6 کو اکائی کی سلاخ پر اتار دیا تو آپ نے 60 کے بجائے 6 لکھ دیا، اور قدم یہ بات بتا دے گا۔ 30 × 2 = 60
اب ضرب کھانے والے کا اکائی والا ہندسہ۔ فریم 60 پڑھ رہا ہے۔ 4 × 2 = 8 سلاخ 0 + 0 = 0 کا ہے۔ فریم کو 68 پر لے آئیں اور سوال مکمل — دو جزوی حاصلِ ضرب، دو سلاخیں، کوئی ٹکراؤ نہیں۔ 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68
60 سے شروع، کیونکہ وہ حصہ آپ پہلے ہی کر چکے ہیں۔ پہلا جزوی حاصلِ ضرب، 20 × 3 = 60، وہی حرکت ہے جو ابھی تھوڑی دیر پہلے آپ نے 34 × 2 پر کی تھی، اس لیے فریم اسے پہلے سے رکھے ہوئے کھلتا ہے۔ باقی رہ گیا 7 × 3 = 21۔ اس کا اکائی والا ہندسہ اکائی کی سلاخ پر رکھیں تاکہ فریم 61 پڑھے۔ 60 + 1 = 61
اور دہائی والا ہندسہ، بھری ہوئی سلاخ پر۔ فریم 61 پڑھ رہا ہے۔ 21 کا دہائی والا ہندسہ دہائی کی سلاخ پر جاتا ہے، جو پہلے ہی 6 سنبھالے ہوئے ہے: وہاں دو زمینی منکے اوپر کریں تاکہ فریم 81 پڑھے۔ اگر یہ 63 پڑھے تو آپ نے وہ ہندسہ اکائی کی سلاخ پر جوڑ دیا — ہندسہ درست، سلاخ غلط، اور soroban کی ضرب میں یہی اکلوتی اصل غلطی ہے۔ 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81
پانچ سلاخیں، کوئی ہدف نہیں۔ ضرب پہلی تکنیک ہے جس کا جواب اپنے دونوں عددوں کو ملا کر جتنا چوڑا ہو سکتا ہے — 99 × 99 کو چار سلاخیں چاہییں — اس لیے یہ فریم پانچ کا ہے اور کچھ جانچا نہیں جا رہا۔ کوئی سوال چنیں، ہر جزوی حاصلِ ضرب سلاخ i + j پر رکھیں، اور جوڑے ختم ہو جانے پر فریم پڑھ لیں۔
اب آگے کہاں جائیں
وہی تکنیک، چار الگ کام۔ یہ صفحہ رہنمائی تھا؛ باقی یہ ہیں، اور ان میں سے کوئی بھی اس کی جگہ نہیں لیتا۔
باقی رہنمائیاں
پانچ تکنیکیں، ایک ہی سیڑھی۔ ہر ایک اپنی الگ رہنمائی ہے جس کے اپنے منکے ہلانے کو ہیں، اور یہاں انہیں اُسی ترتیب سے رکھا گیا ہے جس میں سیکھنے والا ان سے ملتا ہے۔