Mnożenie na abakusie: gdzie ląduje każdy iloczyn częściowy

Inna ściana

Cztery na pręcie, razy trzy. Nic tu nie utknęło. Pręt pokazuje 4 i ma jeszcze wolne koraliki, więc to nie jest ta ściana, którą opisują strony o dopełnieniach, gdzie prętowi kończą się wolne koraliki. Problem polega na tym, że 4 × 3 = 12 ma dwie cyfry, więc wynik nie może zmieścić się w całości na pręcie, na którym siedzi 4 — a żadna reguła dodawania nie mówi, dokąd trafia reszta. Mnożenie odpowiada właśnie na to jedno pytanie. 4 × 3 = ?

Reguła w czterech obrazkach

Jedności razy jedności lądują na pręcie jedności. 2 stoi na pręcie 0, a mnożnik 3 jest jednocyfrowy, więc oba numery pozycji są zerami. Dodaj je: 0 + 0 = 0, i 6 trafia na pręt 0. Na razie nic zaskakującego — to przypadek, w którym reguła zgadza się z tym, co i tak byś zgadł. 2 × 3 = 6

Przesuń cyfrę o jeden pręt w lewo, a wynik pójdzie za nią. Te same cyfry, ten sam iloczyn 6, ale 2 stoi teraz na pręcie 1. 1 + 0 = 1, więc 6 trafia na pręt 1 i ramka pokazuje 60. Nie zmienił się ani mnożnik, ani tabliczka mnożenia; zmieniła się pozycja mnożnej, a wynik przesunął się razem z nią. 20 × 3 = 60

I jeszcze raz, o jeden pręt dalej w lewo. 2 jest teraz na pręcie 2, więc 2 + 0 = 2 i 6 siada na pręcie setek: 600. Trzy ramki, jeden iloczyn, trzy różne pręty. To nigdy cyfry decydowały, dokąd trafia wynik — decydowały pozycje. 200 × 3 = 600

Dwucyfrowy iloczyn zajmuje dwa pręty. Osiem razy dziewięć to 72, a żaden pręt nie pokaże 72. Cyfra jedności 2 trafia na pręt 0 + 0 = 0, a cyfra dziesiątek 7 o jeden pręt dalej w lewo, na pręt 1. To jedyny inny przypadek, jaki istnieje: iloczyn dwóch pojedynczych cyfr nigdy nie przekracza 9 × 9 = 81, więc ma jedną cyfrę albo dwie, a dwie cyfry oznaczają pręt i + j razem z prętem obok niego. 8 × 9 = 72

Po jednej cyfrze: 7 × 6

Zacznij od wyzerowanej ramki. Koraliki niosą budowany wynik; obie mnożone liczby zostają w wierszu nad nimi. Zarówno 7, jak i 6 są cyframi pojedynczymi stojącymi na pręcie 0, więc wszystko, co daje to zadanie, należy do pręta 0 + 0 = 0 — a gdy się tam nie mieści, do pręta 1. 7 × 6 = ?

Najpierw ustaw cyfrę jedności. Siedem razy sześć to 42. Jego cyfra jedności to 2 i trafia na pręt 0. Na pustym pręcie podnoszą się dwa koraliki ziemi i nic więcej na ramce się nie rusza. 0 + 2 = 2

Potem cyfra dziesiątek, o jeden pręt w lewo. Cyfra dziesiątek liczby 42 to 4 i trafia na pręt 0 + 1 = 1. Na pręcie dziesiątek podnoszą się cztery koraliki ziemi i ramka pokazuje 42. Dwa pręty zużyte na zadanie, którego oba składniki były jednocyfrowe — a to najkrótszy dowód na to, że ile i gdzie to dwa osobne pytania. 2 + 40 = 42

Dwie cyfry przez jedną: 34 × 2

Dwie cyfry oznaczają dwa iloczyny częściowe. 3 stoi na pręcie 1, a 4 na pręcie 0; mnożnik 2 stoi na pręcie 0. Daje to dwie pary do umieszczenia, (1, 0) i (0, 0), a ten przewodnik zawsze bierze najpierw najwyższą pozycję mnożnej. Na prawdziwym sorobanie kolejność jest dowolna, bo dodawaniu jest wszystko jedno, w jakiej kolejności coś przychodzi; ustalenie jej tutaj sprawia, że każdy krok da się sprawdzić. 34 × 2 = ?

Trzy razy dwa, lądowanie na pręcie 1. 3 × 2 = 6 jest jednocyfrowe, więc potrzebuje jednego pręta, a 1 + 0 = 1 wskazuje którego. Koralik nieba w dół i jeden koralik ziemi w górę na pręcie dziesiątek — ramka pokazuje 60. 30 × 2 = 60

Cztery razy dwa, lądowanie na pręcie 0. 4 × 2 = 8, znów jedna cyfra, a 0 + 0 = 0 umieszcza ją na pręcie jedności. Koralik nieba w dół, trzy koraliki ziemi w górę i ramka pokazuje 68. W tym przykładzie nic się nie nałożyło — każdy iloczyn częściowy miał własny pręt, i to jest ten łatwy przypadek. 60 + 8 = 68

Lądowanie na zajętym pręcie: 27 × 3

Przykład, dla którego ta reguła naprawdę powstała. 2 jest na pręcie 1, 7 na pręcie 0, a mnożnik 3 na pręcie 0. Drugi z dwóch iloczynów częściowych będzie miał dwie cyfry, więc zażąda dwóch prętów — a jeden z nich będzie już trzymał cyfrę z pierwszego. 27 × 3 = ?

Najpierw najwyższa pozycja: dwa razy trzy. 2 × 3 = 6, jedna cyfra, na pręcie 1 + 0 = 1. Ramka pokazuje 60. Na razie to znowu poprzedni przykład. 20 × 3 = 60

Siedem razy trzy to 21 — najpierw cyfra jedności. Cyfra jedności 1 trafia na pręt 0 + 0 = 0. Na pręcie jedności podnosi się jeden koralik ziemi i ramka pokazuje 61. 2 dopiero nadejdzie i nie należy tutaj. 60 + 1 = 61

Teraz cyfra dziesiątek, na pręt, który nie jest pusty. Cyfra dziesiątek 2 należy do pręta 0 + 0 + 1 = 1, który pokazuje już 6. Dodaj ją tam: podnoszą się dwa z trzech wolnych koralików ziemi, 6 zmienia się w 8, a ramka pokazuje 81. Upuść to 2 na pręt jedności zamiast tam, a ramka pokaże 63 — całkowicie dozwolony układ koralików, który jest po prostu złą odpowiedzią, i to właśnie temu błędowi ta strona ma zapobiec. 61 + 20 = 81

Twoja kolej: 7 × 6

Ustaw cyfrę jedności liczby 42. Ramka jest wyzerowana, a koraliki żywe. Siedem razy sześć to 42; ustaw jego cyfrę jedności na pręcie jedności, tak aby ramka pokazywała 2, a cyfrę dziesiątek zostaw na następny krok. Jeśli ustawisz 42 za jednym razem, przegapisz ten krok — i to jest zamierzone: rozdzielenie jest dowodem na to, że dwie cyfry poszły na dwa różne pręty, a nie zostały odczytane z tabliczki mnożenia. 0 + 2 = 2

Teraz cyfra dziesiątek, o jeden pręt w lewo. Ramka pokazuje 2. Podnieś cztery koraliki ziemi na pręcie dziesiątek, tak aby pokazywała 42 — i mnożenie jest skończone. Pręt 0 dla cyfry jedności, pręt 1 dla cyfry dziesiątek, i niczego nie trzeba było pamiętać o tym, dokąd trafiły. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42

Twoja kolej: 34 × 2

Najpierw najwyższa pozycja. Ramka jest wyzerowana. 3 z liczby 34 stoi na pręcie 1, więc 3 × 2 = 6 należy do pręta 1 + 0 = 1: koralik nieba w dół i jeden koralik ziemi w górę na pręcie dziesiątek, co daje 60. Umieść 6 na pręcie jedności zamiast tam, a zapiszesz 6 zamiast 60 — i krok ci to powie. 30 × 2 = 60

Teraz cyfra jedności mnożnej. Ramka pokazuje 60. 4 × 2 = 8 należy do pręta 0 + 0 = 0. Spraw, by ramka pokazywała 68, i zadanie jest gotowe — dwa iloczyny częściowe, dwa pręty, żadnego nakładania. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68

Twoja kolej: przelanie w 27 × 3

Start od 60, bo tę część masz już za sobą. Pierwszy iloczyn częściowy, 20 × 3 = 60, to ten sam ruch, który przed chwilą wykonałeś przy 34 × 2, więc ramka otwiera się z nim już ustawionym. Zostaje 7 × 3 = 21. Ustaw jego cyfrę jedności na pręcie jedności, tak aby ramka pokazywała 61. 60 + 1 = 61

I cyfra dziesiątek, na zajęty pręt. Ramka pokazuje 61. Cyfra dziesiątek liczby 21 trafia na pręt dziesiątek, który trzyma już 6: podnieś tam dwa koraliki ziemi, tak aby ramka pokazywała 81. Jeśli pokazuje 63, dodałeś tę cyfrę na pręcie jedności — dobra cyfra, zły pręt, i to jedyny błąd, jaki mnożenie na sorobanie naprawdę ma. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81

Swobodna zabawa

Pięć prętów, żadnego celu. Mnożenie jest pierwszą techniką, której wynik może być tak szeroki jak oba składniki razem wzięte — 99 × 99 potrzebuje czterech prętów — więc ta ramka ma pięć prętów i nic nie jest oceniane. Wybierz zadanie, umieść każdy iloczyn częściowy na pręcie i + j i odczytaj ramkę, gdy pary się skończą.