Vier auf dem Stab, mal drei. Hier klemmt nichts. Der Stab zeigt 4 und hat Perlen übrig, das ist also nicht die Wand, die die Komplementseiten beschreiben, wo einem Stab die freien Perlen ausgehen. Das Problem ist, dass 4 × 3 = 12 zwei Ziffern hat — die Antwort kann also unmöglich ganz auf dem Stab wohnen, auf dem die 4 sitzt —, und keine Additionsregel sagt Ihnen, wohin der Rest gehört. Genau diese eine Frage beantwortet die Multiplikation. 4 × 3 = ?
Interaktiver Rundgang · Oberstufe A
Multiplikation am Abakus: auf welchem Stab jedes Teilprodukt landet
Nummerieren Sie die Stäbe von rechts — 0 für die Einer, 1 für die Zehner, 2 für die Hunderter. Multiplizieren Sie die Ziffer auf Stab i mit der Ziffer auf Stab j, und die Antwort landet auf Stab i + j: ihre Einerziffer dort, ihre Zehnerziffer einen Stab weiter links. Diese eine Regel ist die ganze Soroban-Multiplikation. Dieser Rundgang zeichnet sie als vier Bilder, rechnet sie an drei Aufgaben durch und übergibt Ihnen dann die Perlen. Neun Kapitel, zweiundzwanzig Schritte, nichts läuft auf Zeit.
Was diese Seite von Ihnen verlangt
Das ist kein Übungsblatt und kein Artikel. Jedes Kapitel ist der Rahmen eines echten Abakus mit einer Erklärung daneben, und das letzte Drittel übergibt die Perlen: Das Feld nennt eine Zahl, Sie bewegen die Perlen, und es sagt Ihnen, ob der Rahmen sie anzeigt. Jede durchgerechnete Aufgabe wird als zwei getrennte Schritte bewertet statt als einer — wer also gleich die Antwort einstellt, die er ohnehin wusste, scheitert an der ersten Hälfte. Diese Teilung ist es, die zeigt, wie die zwei Ziffern eines Produkts auf zwei verschiedene Stäbe gehen.
Um die Multiplikation geht es in Oberstufe A, der siebten Sprosse der neunstufigen Leiter. Arbeiten Sie zuerst den Rundgang zu den großen Freunden durch, falls die 10er-Komplemente noch nicht automatisch sitzen: Ein Teilprodukt landet regelmäßig auf einem Stab, der schon eine Ziffer trägt, und die Korrektur, die dann folgt, ist der Übertrag und nichts Neues.
Wie multipliziert man auf einem Soroban?
Geben Sie jedem Stab seine Stellennummer: 0 für den Einerstab, 1 für die Zehner, 2 für die Hunderter und so weiter. Nehmen Sie jede Ziffer der ersten Zahl und jede Ziffer der zweiten, multiplizieren Sie sie und addieren Sie das Ergebnis auf dem Rahmen bei Stab i + j, wobei i und j die beiden Stellennummern sind. Ein Produkt aus zwei Ziffern ist höchstens 81, es passt also auf einen Stab oder auf zwei: Die Einerziffer kommt auf Stab i + j, die Zehnerziffer auf den Stab unmittelbar links davon. Wenn jedes Paar gesetzt ist, ist der Rahmen die Antwort.
Wo ein Teilprodukt landet, entscheiden die Stellen der beiden Ziffern, nie ihre Größe — und das ist das Einzige, was diese Technik hinzufügt. Es auf das zu addieren, was der Stab schon trägt, ist gewöhnliche Addition — das erledigen kleine und große Freunde, unverändert. An einem echten Soroban werden die beiden Zahlen, die multipliziert werden, links auf dem Rahmen geparkt; die Rahmen hier tragen nur die Antwort, während sie entsteht, und die Aufgabe bleibt in der Zeile daneben stehen.
Bewegen Sie die Perlen selbst
Der Rahmen zeigt 4.
Die ganze Lektion, ausgeschrieben
Teil 1 — die Antwort bleibt nicht, wo sie angefangen hat
Einer mal Einer landet auf dem Einerstab. Die 2 steht auf Stab 0, und der Faktor 3 ist einstellig, beide Stellennummern sind also null. Addieren Sie sie: 0 + 0 = 0, und die 6 kommt auf Stab 0. Noch nichts Überraschendes — das ist der Fall, in dem die Regel dasselbe sagt, was Sie geraten hätten. 2 × 3 = 6
Rücken Sie die Ziffer einen Stab nach links, und die Antwort geht mit. Dieselben Ziffern, dasselbe Produkt 6, aber die 2 steht jetzt auf Stab 1. 1 + 0 = 1, die 6 kommt also auf Stab 1, und der Rahmen zeigt 60. Der Faktor hat sich nicht geändert und das Einmaleins auch nicht; die Stelle des Multiplikanden hat sich geändert, und die Antwort ist mitgewandert. 20 × 3 = 60
Und noch einmal, einen Stab weiter links. Die 2 steht jetzt auf Stab 2, also 2 + 0 = 2, und die 6 sitzt auf dem Hunderterstab: 600. Drei Rahmen, ein Produkt, drei verschiedene Stäbe. Nie haben die Ziffern entschieden, wohin die Antwort ging — das haben die Stellen getan. 200 × 3 = 600
Ein zweistelliges Produkt braucht zwei Stäbe. Acht mal neun ist 72, und kein Stab kann 72 zeigen. Die Einerziffer 2 kommt auf Stab 0 + 0 = 0, und die Zehnerziffer 7 kommt einen Stab weiter links, auf Stab 1. Mehr Fälle gibt es nicht: Ein Produkt aus zwei einstelligen Zahlen übersteigt nie 9 × 9 = 81, es ist also einstellig oder zweistellig — und zweistellig heißt Stab i + j zusammen mit dem Stab daneben. 8 × 9 = 72
Teil 2 — dreimal durchgerechnet, der Überlauf zuletzt
Start mit einem gelöschten Rahmen. Die Perlen tragen die Antwort, während sie entsteht; die beiden Zahlen, die multipliziert werden, bleiben in der Zeile darüber. 7 und 6 sind beide einstellig und stehen auf Stab 0, alles, was diese Aufgabe hervorbringt, gehört also auf Stab 0 + 0 = 0 — und, wo es nicht passt, auf Stab 1. 7 × 6 = ?
Zuerst die Einerziffer setzen. Sieben mal sechs ist 42. Die Einerziffer ist 2, und die 2 kommt auf Stab 0. Zwei Erdperlen gehen auf einem leeren Stab hoch, und sonst bewegt sich nichts auf dem Rahmen. 0 + 2 = 2
Dann die Zehnerziffer, einen Stab weiter links. Die Zehnerziffer von 42 ist 4, und sie kommt auf Stab 0 + 1 = 1. Vier Erdperlen gehen auf dem Zehnerstab hoch, und der Rahmen zeigt 42. Zwei Stäbe benutzt, aus einer Aufgabe, deren beide Eingaben einstellig waren — der kürzeste Beweis dafür, dass wie viel und wohin zwei verschiedene Fragen sind. 2 + 40 = 42
Zwei Ziffern heißt zwei Teilprodukte. Die 3 steht auf Stab 1 und die 4 auf Stab 0; der Faktor 2 steht auf Stab 0. Das ergibt zwei Paare zum Setzen, (1, 0) und (0, 0), und dieser Rundgang nimmt immer die höchste Stelle des Multiplikanden zuerst. An einem echten Soroban ist die Reihenfolge frei, denn der Addition ist egal, in welcher Reihenfolge etwas ankommt; sie hier festzulegen macht jeden Schritt prüfbar. 34 × 2 = ?
Drei mal zwei, landet auf Stab 1. 3 × 2 = 6 ist einstellig, braucht also einen Stab, und 1 + 0 = 1 nennt ihn. Himmelsperle herunter und eine Erdperle hoch auf dem Zehnerstab, und der Rahmen zeigt 60. 30 × 2 = 60
Vier mal zwei, landet auf Stab 0. 4 × 2 = 8, wieder einstellig, und 0 + 0 = 0 setzt es auf den Einerstab. Himmelsperle herunter, drei Erdperlen hoch, und der Rahmen zeigt 68. In diesem Beispiel hat sich nichts überschnitten — jedes Teilprodukt hatte einen Stab für sich, und das ist der einfache Fall. 60 + 8 = 68
Das Beispiel, für das die Regel wirklich da ist. Die 2 steht auf Stab 1, die 7 auf Stab 0 und der Faktor 3 auf Stab 0. Das zweite der beiden Teilprodukte wird zwei Ziffern haben, also zwei Stäbe wollen — und einer davon trägt schon eine Ziffer aus dem ersten. 27 × 3 = ?
Höchste Stelle zuerst: zwei mal drei. 2 × 3 = 6, einstellig, auf Stab 1 + 0 = 1. Der Rahmen zeigt 60. Bis hierher ist das das vorige Beispiel noch einmal. 20 × 3 = 60
Sieben mal drei ist 21 — zuerst die Einerziffer. Die Einerziffer 1 kommt auf Stab 0 + 0 = 0. Eine Erdperle geht auf dem Einerstab hoch, und der Rahmen zeigt 61. Die 2 kommt noch, und hierher gehört sie nicht. 60 + 1 = 61
Und jetzt die Zehnerziffer, auf einen Stab, der nicht leer ist. Die Zehnerziffer 2 gehört auf Stab 0 + 0 + 1 = 1, und der zeigt schon 6. Addieren Sie sie dort: Zwei der drei freien Erdperlen gehen hoch, aus der 6 wird eine 8, und der Rahmen zeigt 81. Lassen Sie diese 2 stattdessen auf den Einerstab fallen, und der Rahmen zeigt 63 — eine völlig zulässige Perlenstellung, die schlicht die falsche Antwort ist, und der Fehler, den diese Seite verhindern soll. 61 + 20 = 81
Teil 3 — Sie sind dran
Setzen Sie die Einerziffer von 42. Der Rahmen ist gelöscht, und die Perlen sind frei. Sieben mal sechs ist 42; setzen Sie die Einerziffer auf den Einerstab, sodass der Rahmen 2 zeigt, und lassen Sie die Zehnerziffer für den nächsten Schritt. Wenn Sie 42 in einem Zug einstellen, verfehlen Sie diesen Schritt, und das ist Absicht — die Teilung belegt, dass die zwei Ziffern auf zwei verschiedene Stäbe gegangen sind und nicht aus dem Einmaleins abgelesen wurden. 0 + 2 = 2
Und jetzt die Zehnerziffer, einen Stab weiter links. Der Rahmen zeigt 2. Schieben Sie vier Erdperlen auf dem Zehnerstab hoch, sodass er 42 zeigt, und die Multiplikation ist fertig. Stab 0 für die Einerziffer, Stab 1 für die Zehnerziffer, und niemand musste sich merken, wohin sie gehören. 2 + 40 = 42, so 7 × 6 = 42
Höchste Stelle zuerst. Der Rahmen ist gelöscht. Die 3 von 34 steht auf Stab 1, also gehört 3 × 2 = 6 auf Stab 1 + 0 = 1: Himmelsperle herunter und eine Erdperle hoch auf dem Zehnerstab, macht 60. Landet die 6 stattdessen auf dem Einerstab, haben Sie 6 statt 60 festgelegt, und der Schritt sagt es Ihnen. 30 × 2 = 60
Und jetzt die Einerziffer des Multiplikanden. Der Rahmen zeigt 60. 4 × 2 = 8 gehört auf Stab 0 + 0 = 0. Bringen Sie den Rahmen auf 68, und die Aufgabe ist fertig — zwei Teilprodukte, zwei Stäbe, keine Überschneidung. 60 + 8 = 68, so 34 × 2 = 68
Start bei 60, denn diesen Teil haben Sie schon gemacht. Das erste Teilprodukt, 20 × 3 = 60, ist derselbe Zug, den Sie gerade eben bei 34 × 2 gemacht haben — der Rahmen öffnet also bereits damit. Übrig ist 7 × 3 = 21. Setzen Sie die Einerziffer auf den Einerstab, sodass der Rahmen 61 zeigt. 60 + 1 = 61
Und die Zehnerziffer, auf den belegten Stab. Der Rahmen zeigt 61. Die Zehnerziffer von 21 kommt auf den Zehnerstab, der schon 6 trägt: Schieben Sie dort zwei Erdperlen hoch, sodass der Rahmen 81 zeigt. Zeigt er 63, haben Sie diese Ziffer auf den Einerstab addiert — richtige Ziffer, falscher Stab, und das ist der einzige Fehler, den die Soroban-Multiplikation wirklich hat. 61 + 20 = 81, so 27 × 3 = 81
Fünf Stäbe, kein Ziel. Die Multiplikation ist die erste Technik, deren Antwort so breit werden kann wie ihre beiden Eingaben zusammen — 99 × 99 braucht vier Stäbe —, deshalb ist dieser Rahmen fünf Stäbe breit, und nichts wird bewertet. Suchen Sie sich eine Aufgabe, setzen Sie jedes Teilprodukt auf Stab i + j und lesen Sie den Rahmen, sobald die Paare ausgehen.
Wie es weitergeht
Dieselbe Technik, vier verschiedene Aufgaben. Diese Seite war der Rundgang; das hier sind die anderen, und keine davon ersetzt ihn.
Soroban-Multiplikation üben — Aufgabensätze, Beispiele und DruckvorlagenNachlesen, wie Kopfrechnen am Abakus funktioniert — alle vier Rechenarten, als TextDen vollen Instrumentenrundgang machen — Teile, Stellenwert, Perlen lesenEine Sprosse zurück: große Freunde (10er-Komplemente) — der Übertrag, auf den sich diese Seite stützt
Die anderen Rundgänge
Fünf Techniken, eine Leiter. Jede hat ihren eigenen Rundgang mit eigenen Perlen zum Bewegen, und sie stehen hier in der Reihenfolge, in der ein Lernender ihnen begegnet.
Zählen bis 99Grundstufe · 19 Kapitel · 43 SchritteKleine Freunde (5er-Komplemente)Elementar A · 9 Kapitel · 22 SchritteGroße Freunde (10er-Komplemente)Elementar B · 9 Kapitel · 26 SchritteMentaler Abakus (Anzan)Mittelstufe B · 9 Kapitel · 24 SchritteDivision auf dem AbakusOberstufe B bis Meisterstufe · 9 Kapitel · 26 Schritte