წარმოსახვითი აბაკუსი: სორობანის მეთოდი სორობანის გარეშე
წარმოსახვითი აბაკუსი — იაპონურად ანზანი — არ არის ჩვეულებრივი ზეპირი ანგარიში, რომელსაც დამახსოვრების ხრიკი მიამაგრეს. ეს იგივე სორობანის მეთოდია, რომელიც ჩარჩოს წარმოსახულ სურათზე სრულდება: იგივე შევსებები, იგივე ღეროები, სვლების იგივე თანმიმდევრობა — ოღონდ ხელქვეით არაფერია. ეს გაკვეთილი ინსტრუმენტს სამ ეტაპად აქრობს — ჩარჩო და ციფრები, მხოლოდ ჩარჩო, შემდეგ კი საერთოდ არაფერი — და ყოველ ეტაპზე გაფასებთ. ცხრა თავი, ოცდაოთხი ნაბიჯი, დროის ლიმიტის გარეშე.
რას მოითხოვს თქვენგან ეს გვერდი
ყოველი თავი კადრია, გვერდით ახსნით, ბოლო მესამედი კი მძივებს თქვენ გადმოგცემთ. სანამ დაიწყებთ, ორი რამ ღირს, რომ იცოდეთ. ჩარჩოს ქვეშ ჩვენება მნიშვნელობას ყოველთვის ასახელებს, იმ ნაბიჯებზეც კი, სადაც ციფრების ზოლი გამორთულია — ამიტომ ეს ნაბიჯები თვითშემოწმებაა და არა ტესტი: წაიკითხეთ მძივები მათი ფორმით, მერე ქვემოთ ჩაიხედეთ და ნახეთ, მართალი იყავით თუ არა. გონებრივ ნაბიჯებზე კი ჩარჩო მართლაც ცარიელია, ამიტომ ჩვენება ნულია, მის გვერდით ტოლობის სტრიქონი კი ითვლის. ეს სხვაობა მათ შორის თავად გაკვეთილია და არა შეცდომა.
დონე საშუალო ბ — ცხრადონიანი კიბის მეექვსე საფეხური — სწორედ წარმოსახვით აბაკუსს ეძღვნება: სამნიშნა რიცხვები და ჩარჩო, რომელიც გონებაში გადასვლას იწყებს. „პატარა მეგობრები“ და „დიდი მეგობრები“ წინაპირობებია და არა ალტერნატივები — ამ გვერდზე ყოველი გონებრივი გზა ამ ორი წესიდან ერთ-ერთია, ოღონდ მძივების გარეშე.
რა არის წარმოსახვითი აბაკუსი (ანზანი)?
აქ ახალი არითმეტიკა არ არის. წარმოიდგინეთ ჩარჩო, გადააადგილეთ მძივები ამ სურათზე იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ხელით გადააადგილებდით — ჯერ უფროსი თანრიგი, გადატანამდე შევსება — და ბოლოს ფორმა წაიკითხეთ. ეს იმიტომ მუშაობს, რომ სორობანზე რიცხვი სურათია და არა ციფრების მიმდევრობა: ღერო, რომელზეც ექვსია, ძელის ზემოთ ერთ მძივს აჩვენებს და ქვემოთ — ერთს, ფორმის შენარჩუნება კი შეკრებების ჯაჭვის განმავლობაში უფრო ადვილია, ვიდრე სიტყვისა.
ინსტრუმენტი სამუდამოდ არ ქრება. წარმოსახვითი აბაკუსი ფიზიკურ ჩარჩოზეა აგებული და მას მიბმული რჩება — ჩარჩო ამ გაკვეთილის ბოლოს ბრუნდება, და ისინიც კი, ვინც მთლიანად გონებაში ითვლის, მძივებზე მაინც ვარჯიშობენ. ვარჯიშდება სურათი, ეს სურათი კი მყარად მხოლოდ მაშინ დგას, როცა ნამდვილ ჩარჩოზე მუშაობა ავტომატური გახდება.
გადააადგილეთ მძივები თავად
აბაკუსი იტვირთება…
აბაკუსზე ახლა: 7.
მთელი გაკვეთილი ტექსტად
პირველი მოქმედება — ინსტრუმენტის მოშორება
მძივები და მათ ქვეშ ციფრი. შვიდი ერთეულების ღეროზე: ცის მძივი ქვემოთ, ორი მიწის მძივი ზემოთ, ქვემოთ კი ციფრების ზოლი ამას ადასტურებს. აქ დგას მოსწავლე, რომელმაც დონე ელემენტარული ბ დაასრულა — მძივები ითვლის, ციფრები კი ამოწმებს.
ციფრები გამორთულია. ახლა ფორმამ უნდა თქვას. იგივე შვიდი, ოღონდ ციფრების ზოლი გამორთულია. მძივებში არაფერი შეცვლილა; მათი წაკითხვა ახლა თქვენი საქმეა. ერთი მძივი ძელის ზემოთ და ორი ქვემოთ — ეს არის 5 + 2, და აი, როგორ გამოიყურება შვიდის ფორმა.
ახლა კი ჩარჩო ცარიელია. ერთი მოსმა — და მასზე აღარაფერია. ამის შემდეგ ყველაფერი ხდება იმ ჩარჩოზე, რომელსაც ახლახან უყურეთ და ახლა გონებაში ინახავთ — სწორედ ამიტომაა გასუფთავება სორობანზე ნამდვილი სვლა და არა უბრალოდ განულება. წარმოსახვითი აბაკუსი სწორედ ეს სურათია, რომელზეც მძივები ისევ მოძრაობს.
თორმეტი. მარცხენა ღეროზე ერთი მიწის მძივია აწეული, მარჯვენაზე — ორი, ცის მძივი არსად: 10 + 2. ღეროს წაკითხვა მისი ფორმით და არა დაბეჭდილი ციფრით — ეს ის ერთადერთი უნარია, რომლის გარეშეც ეს ტექნიკა შეუძლებელია, ამიტომ ის ნებისმიერ არითმეტიკას წინ უსწრებს. ჩარჩოს ქვეშ სტრიქონი გეტყვით, სწორად წაიკითხეთ თუ არა.
ორმოცდაექვსი. ათეულების ღეროზე ოთხი მიწის მძივი ცის მძივის გარეშე — ეს 40-ია. ერთეულების ღეროზე ჩამოშვებული ცის მძივი და ერთი აწეული მიწის მძივი — 5 + 1. თქვენ ერთდროულად ორ სხვადასხვა ფორმას კითხულობთ — და სწორედ ამას მოითხოვს ორნიშნა რიცხვი, როცა ციფრები ქრება.
ოთხმოცი. ათეულების ღეროზე ცის მძივი ჩამოშვებულია და სამი მიწის მძივი აწეული — 50 + 30 — ერთეულების ღერო კი ცარიელია. ცარიელი ღერო ნულია და ისეთივე ყურადღებით უნდა წაიკითხოთ, როგორც ნებისმიერი სხვა ციფრი: ღერო, რომელსაც ვერ შეამჩნევთ, დაკარგული თანრიგია.
მეორე მოქმედება — ერთი ტიპის მაგალითი მოშორების სამ ეტაპზე
შვიდი — და კიდევ რვა უნდა დაუმატოთ. ვერცერთი ღერო ვერ აჩვენებს 15-ს, ამიტომ აქ „დიდი მეგობარია“ საჭირო: 8-ის მეგობარი რიცხვი 2-ია, სვლა კი ასეთია: აქ აიღეთ ორი, მარცხნივ დაუმატეთ ათი. არითმეტიკაში ახალი არაფერია — ამ თავის აზრი ისაა, რომ იგრძნოთ, როგორია ეს სვლა, სანამ ყველაფერი ჯერ კიდევ თვალწინ გაქვთ. 7 + 8 = ?
აიღეთ ორი. ორი აწეული მიწის მძივი ქვემოთ ეშვება — და ერთეულების ღერო 5-ს აჩვენებს, ცის მძივი კი ისევ ქვემოთაა. ორივე მძივი უკვე საჭირო მხარეს იყო, ამიტომ ეს ნახევარი ჩვეულებრივი გამოკლებაა ღეროს შიგნით. 7 − 2 = 5
დაამატეთ ათი. ათეულების ღეროზე ერთი მიწის მძივი მაღლა იწევს და ჩარჩოზე 15 ჩანს. დაიმახსოვრეთ ფორმა, რომელსაც მძივები ქმნის — ერთი მძივი მარცხენა ღეროზე, ერთი მძივი შუა ძელს ზემოთ მარჯვნივ. სწორედ ამ ფორმის წარმოდგენა მოგიწევთ ცოტა ხანში. 5 + 10 = 15
ოცდათოთხმეტი — და ციფრები აღარ გეხმარებათ. სამი მიწის მძივი ათეულების ღეროზე, ოთხი — ერთეულების ღეროზე. შევსება განზრახ იგივეა, რაც წინა თავში: აქ ახალი არითმეტიკა კი არ არის, არამედ ის, რომ ციფრების სტრიქონი აღარ ჩანს. 8-ის მეგობარი რიცხვია 2, ამიტომ აქ ორი გამოაკელით, იქ კი ათი დაამატეთ. 34 + 8 = ?
გამოაკელით ორი. ოთხი აწეული მიწის მძივიდან ორი ქვემოთ ეშვება და ერთეულების ღეროზე 2 ჩანს. სანამ ქვემოთ მოცემულ სტრიქონს დახედავთ, მთელი რიცხვი ფორმის მიხედვით გუნებაში თქვით — სამი მძივი მარცხნივ, ორი მძივი მარჯვნივ, ოცდათორმეტი. 34 − 2 = 32
დაამატეთ ათი. ათეულების ღეროზე ერთი თავისუფალი მიწის მძივი მაღლა იწევს. სამი უკვე აწეული იყო, ამიტომ გადასაადგილებლად ზუსტად ერთი რჩებოდა, და ჩარჩოზე 42 ჩანს. ქვემოთ მოცემული ჩვენებით მხოლოდ თავს ამოწმებთ — პასუხს მისგან არ იღებთ. 32 + 10 = 42
გაასუფთავეთ ჩარჩო და ასე დატოვეთ. აქედან მოყოლებული მძივები აღარ მოძრაობს. ჩარჩო თქვენ წინ ცარიელია და ცარიელი რჩება, ამიტომ ქვემოთ მოცემული ჩვენება ბოლომდე ნულს აჩვენებს, ზემოთ მოცემული სტრიქონი კი თვლას აგრძელებს. ეს წინააღმდეგობა ხარვეზი არ არის — ეს თავად მეთოდია, რომელსაც გვერდი თვითონ გამოხატავს. 26 + 47 = ?
ააწყვეთ ოცდაექვსი წარმოსახვით. ორი მიწის მძივი ათეულების ღეროზე; ერთეულების ღეროზე — ჩამოწეული ცის მძივი და ერთი აწეული მიწის მძივი. ააგეთ ეს ფორმა გონებაში და შეინარჩუნეთ. ნუ დაიმახსოვრებთ სიტყვას „ოცდაექვსი“ — დაიმახსოვრეთ მძივები, რადგან ყოველი სვლა, რომელსაც ახლა გააკეთებთ, მძივების სვლაა. 26
ჯერ უმაღლესი თანრიგი: დაამატეთ ორმოცი. ათეულების ღეროზე 4-ის დასამატებლად ოთხი თავისუფალი მიწის მძივი დაგჭირდებოდათ, თავისუფალი კი მხოლოდ ორია, ამიტომ ეს პატარა მეგობრის შემთხვევაა: დაამატეთ ხუთი, ერთი კი უკან გამოაკელით. ათეულებში ეს არის პლუს ორმოცდაათი, მინუს ათი. სურათი ჯერ 76-ს აჩვენებს, შემდეგ კი 66-ზე ჩერდება — ორივე ღეროზე ცის მძივი ჩამოწეულია და ერთი მიწის მძივი აწეული. თანმიმდევრობა არჩევითი არ არის: სორობანზე მუშაობა უმაღლესი თანრიგიდან იწყება, ამიტომ წარმოსახვით სურათზეც ზუსტად ასე უნდა იმოქმედოთ. 26 + 50 − 10 = 66
შემდეგ შვიდი — ერთი წესი მეორის შიგნით. ღეროზე, სადაც 6 დგას, 7-ის დამატება 13-ს მისცემდა, ამიტომ ეს დიდი მეგობრის შემთხვევაა: გამოაკელით სამი, დაამატეთ ათი. მაგრამ ექვსიდან სამის გამოსაკლებად სამი აწეული მიწის მძივია საჭირო, აწეული კი მხოლოდ ერთია, ამიტომ თავად გამოკლება პატარა მეგობრის შემთხვევაა: გამოაკელით ხუთი, დააბრუნეთ ორი. ცის მძივი ზემოთ — 61, ორი მიწის მძივი ზემოთ — 63, ერთი მიწის მძივი ათეულების ღეროზე გადატანისთვის — 73. სამი შევსება ზედიზედ, ჩარჩოზე, რომელზეც არაფერია. 66 − 5 + 2 + 10 = 73
ახლა შეხედეთ. მძივები დაბრუნდა და 73-ს აჩვენებს: ცის მძივი და ორი მიწის მძივი ათეულების ღეროზე, სამი მიწის მძივი ერთეულების ღეროზე. ეს შემოწმებაა და არა დემონსტრაცია — პასუხი უკვე იცოდით. როცა მას ფორმად ხედავთ, გონებაში არსებული სურათი ისევ უკავშირდება იმ ინსტრუმენტს, საიდანაც წარმოიშვა. 26 + 47 = 73
მესამე მოქმედება — თქვენი ჯერია, სამივე ეტაპზე
გამოაკელით რვის დიდი მეგობარი. ერთეულების ღეროზე 7 ჩანს და მძივებს ახლა თქვენ ამოძრავებთ. ჩამოწიეთ ორი მიწის მძივი, რომ ღეროზე 5 გამოჩნდეს, და აქ გაჩერდით. ორივე ნახევრის ერთბაშად შესრულება ვერაფერს დაამტკიცებდა იმაზე, რომელი გზით წახვედით, ამიტომაც არის გადატანა ცალკე ნაბიჯი. 7 − 2 = 5
ახლა გადატანა. ჩარჩოზე 5 ჩანს. ასწიეთ ერთი მიწის მძივი ათეულების ღეროზე, რომ 15 გამოჩნდეს. ამ ნაბიჯზე თანრიგების წარწერები ჩართულია: საჭირო მძივი მარჯვნიდან მეორე ღეროზეა. 5 + 10 = 15, so 7 + 8 = 15
იგივე სვლა, ციფრების სტრიქონის გარეშე. ჩარჩოზე 34 დგას, ციფრები კი გამორთულია. ჩამოწიეთ ორი მიწის მძივი ერთეულების ღეროზე, რომ ჩარჩოზე 32 გამოვიდეს. წაიკითხეთ ფორმა და გადაწყვიტეთ, სანამ ქვემოთ დაიხედავთ — ჩარჩოს ქვეშ მოცემული სტრიქონი შედეგს ასეა თუ ისე დაადასტურებს, ამიტომ აქ არავინ გაიჭედება. 34 − 2 = 32
ახლა გადატანა — ისევ ფორმის მიხედვით. ასწიეთ ერთი მიწის მძივი ათეულების ღეროზე, რომ ჩარჩოზე 42 გამოვიდეს. იქ სამი მძივი უკვე აწეული იყო, ამიტომ გადასაადგილებლად ზუსტად ერთი რჩება — ამას ერთი ციფრის წაკითხვის გარეშეც დაინახავთ. 32 + 10 = 42, so 34 + 8 = 42
ათეულები წარმოსახვით გამოთვალეთ, შემდეგ კი შედეგი ააწყვეთ. ჩარჩო ცარიელი იხსნება, ამიტომ აქ გადასაადგილებელი არაფერია. ჯერ წარმოსახვით შეკრიბეთ 26 და 40 — პლუს ორმოცდაათი, მინუს ათი — და მხოლოდ ამის შემდეგ ააწყვეთ მიღებული შედეგი. საკონტროლო წერტილია 66, მიმდინარე ჯამი გზის ნახევარში, და ის განზრახ არ არის პასუხი: თუ მთელ მაგალითს ერთბაშად ამოხსნით და 73-ს ააწყობთ, ეს ნაბიჯი არ ჩაითვლება. ჯერ გზა გაიარეთ, შემდეგ კი აქ დაადასტურეთ. 26 + 40 = 66
ახლა ხელებით დაასრულეთ. ჩარჩო 66-ს ნამდვილ მძივებზე გაძლევთ. დაამატეთ შვიდი: ერთეულების ღეროზე ცის მძივი ზემოთ, ორი მიწის მძივი ისევ ზემოთ, შემდეგ კი ერთი მიწის მძივი ათეულების ღეროზე გადატანისთვის — და ჩარჩოზე 73 ჩანს. ის სამი სვლა, რომელიც ახლახან გონებაში გააკეთეთ, ახლა თითებით კეთდება, რათა სურათი და ინსტრუმენტი ერთმანეთთან დაკავშირებული დარჩეს. 66 + 7 = 73, so 26 + 47 = 73
ხუთი ღერო, მიზნის გარეშე. ეს ჩარჩო შევსების გაკვეთილების თავისუფალ ჩარჩოებზე ფართოა, რადგან ეს ხერხი ცალკეულ მაგალითებზე კი არა, რიცხვების ჯაჭვებზე ივარჯიშება. ააწყვეთ რიცხვი, დაუმატეთ მეორე, შემდეგ კიდევ ერთი, და მიმდინარე ჯამი ჩარჩომ შეინახოს. შემდეგ იგივე ჯაჭვი გაიმეორეთ უმოძრაო ხელებით, როცა ჩარჩო მხოლოდ თქვენს გონებაშია, და ნახეთ, რამდენ ნაბიჯს გაივლით, სანამ სურათი აგერევათ. სწორედ ამ მანძილს ზრდის ეს ხერხი.
სად გავაგრძელოთ
ერთი თემა, ოთხი სხვადასხვა დანიშნულება. ეს გვერდი გაკვეთილი იყო; აქ დანარჩენებია, და არცერთი მათგანი მას არ ცვლის.